Question

16．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知（　　）

• A． 同步卫星与量子卫星的运行周期之比为$\frac{{n}^{3}}{{m}^{3}}$
• B． 同步卫星与P点的速率之比为$\sqrt{\frac{1}{n}}$
• C． 量子卫星与P点的速率之比为$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$
• D． 量子卫星与同步卫星的速率之比为$\frac{n}{m}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度、周期的表达式，结合同步卫星和量子卫星的轨道半径之比求出周期之比和线速度之比．抓住同步卫星的角速度与P点的角速度相等，根据v=rω得出线速度大小关系，从而得出量子卫星与P点的速率之比．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，因为同步卫星和量子卫星的轨道半径之比为n：m，则同步卫星和量子卫星的周期之比为$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{m}^{3}}}$，故A错误．
B、同步卫星和P电具有相同的角速度，根据v=rω知，同步卫星与P点的速率之比为n：1，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因为量子卫星与同步卫星的轨道半径之比为m：n，则量子卫星与同步卫星的速率之比为$\sqrt{\frac{n}{m}}$，同步卫星与P点的速率之比为n：1，则量子卫星与P点的速率之比为$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$，故C正确，D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键知道线速度、周期与轨道半径的关系，注意P点不是靠万有引力提供向心力，不能结合线速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$、周期$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$分析判断．