题目内容
13．
发电机转子是匝数n=100的正方形线圈，将其置于匀强磁场中，绕着线圈平面内垂直于磁感线的轴匀速转动，当转到线圈平面与磁场方向垂直时开始计时，线圈内磁通量随时间变化规律如图所示．已知线圈的电阻r=1Ω，与之组成闭合回路的外电路电阻R=99Ω．试求：（1）电动势瞬时值表达式；
（2）外电阻R上消耗的功率；
（3）从计时开始，线圈转过90°的过程中，通过外电阻的电荷量．
分析 （1）先根据Um=nBωL2求出最大值，再根据闭合电路欧姆定律求出电流，进而求出交变电流瞬时值表达式；
（2）先求出电流的有效值，根据P=I2R得外电阻上的消耗功率；
（3）求通过外电阻的电荷量要用平均电流，根据电荷量等于平均电流乘以时间即可．
解答 解：（1）由图可知，穿过线框的最大磁通量：${Φ}_{m}=BS=B{L}^{2}=1.0×1{0}^{-2}$Wb
周期：T=2×10-2s
所以线圈转动的加速度：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2×1{0}^{-2}}=100π$
电动势的最大值：Em=nBωL2=100×1.0×10-2×100π=100π（V）
电动势瞬时值表达式：e=Em•sinωt=100πsin100πt（V）
（2）根据闭合电路欧姆定律得
Im=$\frac{{E}_{m}}{R+r}=\frac{100π}{1+99}=π$ A
电流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$A
外电阻上的消耗功率：
P=I2R=$（\frac{\sqrt{2}}{2}π）^{2}×99$=$\frac{99{π}^{2}}{2}$W≈488W
（3）从计时开始到线圈转过90°过程中，平均感应电动势由$\overline{E}$=n$\frac{△Φ}{△t}=\frac{BS-0}{△t}$=$\frac{BS}{△t}$
得平均电流：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过外电阻的电荷量：q=$\overline{I}•△t=\frac{nBS}{R+r}=\frac{100×1.0×1{0}^{-2}}{99+1}C=0.01$C
答：（1）电动势瞬时值表达式是e=100πsin100πt（V）；
（2）外电阻R上消耗的功率是488W；
（3）从计时开始，线圈转过90°的过程中，通过外电阻的电荷量是0.01C．
点评 本题主要考查了交变电流的瞬时表达式的求解方法，注意功率要用有效值，通过电阻的电量用平均值．
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