题目内容

12．质量分别为MA=m，MB=m1，MC=M-m1的三个物体A、B、C依次自左向右静止在光滑水平面上的同一条直线上，B、C用一根劲度系数k为的弹簧连接．突然给A一个向右的初速度v，A与B发生碰撞后粘在一起继续沿三者所在直线向前运动并压缩弹簧．
（i）求碰撞过程中损失的机械能和弹簧的弹性势能最大值．
（ii）根据计算结果分析，一个质量为m的物体以一定的初速度跟另一个质量为M的静止的物体怎样碰撞损失的机械能最大？

分析 （i）A、B碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出碰撞后的速度．由功能关系求出损失的机械能；弹簧压缩量最大时，ABC速度相等，弹簧的弹性势能最大，A、B、C、弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出弹簧的弹性势能．
（ii）结合以上的分析与功能关系即可做出判断．

解答 解：（ i）滑块A与B碰撞后，共同速度为v1，以水平向右方向为正方向，
由动量守恒定律得：mv=（m+m1）v1，
所以：${v}_{1}=\frac{mv}{m+{m}_{1}}$
损失的机械能：$△{E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{1}）{v}_{1}^{2}$；
整理得：$△{E}_{1}=\frac{m{m}_{1}{v}^{2}}{2（m+{m}_{1}）}$
在AB通过弹簧与C相互作用的过程中，四个物体组成的系统的动量在水平方向是守恒的，同时系统的机械能也守恒，当A、B、C速度相等时，弹簧具有最大弹性势能，
系统动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：（m+m1）v1=（m+m1+M-m1）v2，
得：${v}_{2}=\frac{mv}{m+M}$
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$（m+m1）v12=$\frac{1}{2}$（m+M）v22+EPm，
解得：EPm=$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{2}（\frac{1}{m+{m}_{1}}-\frac{1}{m+M}）$；
（ii）根据以上的计算可知，当碰撞后两个物体的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，所以在没有弹簧的情况下，质量为m的物体以一定的初速度跟另一个质量为M的静止的物体碰撞后黏在一起时，系统损失的机械能最大．
答：（ i）碰撞过程中损失的机械能是$\frac{m{m}_{1}{v}^{2}}{2（m+{m}_{1}）}$和弹簧的弹性势能最大值是$\frac{{m}^{2}{v}^{2}}{2}（\frac{1}{m+{m}_{1}}-\frac{1}{m+M}）$；
（ii）质量为m的物体以一定的初速度跟另一个质量为M的静止的物体碰撞后黏在一起时，系统损失的机械能最大．

点评 本题考查了求速度与弹性势能问题，考查了动量守恒定律与机械能守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程是解题的关键，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以解题．

练习册系列答案
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