Question

4．如图所示，水平轨道OP光滑，PM粗糙，PM长L=3.2m．OM与半径R=0.15m的竖直半圆轨道MN平滑连接．小物块A自O点以v₀=14m/s向右运动，与静止在P点的小物块B发生正碰（碰撞时间极短），碰后A、B分开，A恰好运动到M点停止．A、B均看作质点．已知A的质量m_A=1.0kg，B的质量m_B=2.0kg，A、B与轨道PM的动摩擦因数均为μ=0.25，g取10m/s²，求：
（1）碰后A、B的速度大小；
（2）碰后B沿轨道PM运动到M所需时间；
（3）若B恰好能到达半圆轨道最高点N，求沿半圆轨道运动过程损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出AB在PM之间运动时的加速度，由位移速度公式求出A碰撞后的速度，再对系统应用动量守恒求出碰撞后B的速度；
（2）由位移公式即可求出B在PM之间运动的时间；
（3）由速度公式求出求出B到达M的速度，根据过竖直平面内圆周的最高点的条件求出B在圆的最高点的速度，最后由动能定理即可求出．

解答 解：
（1）依牛顿第二定律，AB在PM上滑行时的加速度大小相同，皆为a，$a=\frac{{μ{m_A}g}}{m_A}=\frac{{μ{m_B}g}}{m_B}=μg$
代入数据得：a=2.5m/s²
由运动学知识，对A，$v_1^2=2aL$
得碰后速度v₁=4m/s
AB相碰的过程中系统水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，得：m_Av₀=m_Av₁+m_Bv₂
得碰后B的速度v₂=5m/s
（2）对B，P到M的过程，有：$L=v_2^{\;}t-\frac{1}{2}at_{\;}^2$
结合（1）可解得：t₁=3.2s（不合，舍去）      t₂=0.8s
即所求时间t=0.8s
（3）B在M点的速度大小$v_3^{\;}=v_2^{\;}-at$
代入数值解得：v₃=3m/s
物体恰好过N点，满足：$\frac{{{m_B}v_4^2}}{R}={m_B}g$
M-N过程，由功能关系可得$Q=\frac{1}{2}{m_B}v_3^2-\frac{1}{2}{m_B}v_4^2-2{m_B}gR$
联立解得损失机械能：Q=1.5J
答：（1）碰后A、B的速度大小分别为4m/s和5m/s；
（2）碰后B沿轨道PM运动到M所需时间是0.8s；
（3）若B恰好能到达半圆轨道最高点N，沿半圆轨道运动过程损失的机械能是1.5J．

点评 本题主要考查了动量守恒定律以及机械能守恒定律的直接应用，解题时要先规定正方向，知道B球到达最高点时的临界条件，难度适中．