Question

12．如图所示，在电场强度的大小为E、电场线沿竖直方向的区域有一竖直平面AOB，若OB沿竖直方向，∠BOA=60°，OA=L，OB=$\sqrt{3}$L，现将一质量为m，电荷量为q的正离子（重力与空气阻力忽略不计）以一定的初动能自O点水平向右抛出，它在运动过程中恰好通过A点，并且到达A点时的动能时初动能的$\frac{7}{3}$倍，现用垂直于平面AOB的水平匀强磁场取代电场，还将此离子从O点以原来的初速度水平抛出，它恰好通过B点．试求：
（1）存在电场时，O、A两点间的电压；
（2）存在电场时，离子到达A点时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值．
（3）该匀强磁场的磁感应强度大小及其方向．

Answer 1

分析 （1、2）利用平抛运动的知识求出初速度，再据电场力做功情况求出W，利用电势差公式即可求解；利用平抛运动的速度关系求解正切．（3）利用洛伦兹力提供向心力和几何关系求出磁感应强度即可．

解答 解：（1）由于离子在电场作用下，从O到A做类平抛运动，设初速度为v，运动的时间为t，
据平抛运动知识可知：x=vt
                  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
据几何关系可知，x=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
               y=$\frac{L}{2}$   且tan$30°=\frac{y}{x}$
联立以上解得：t=$\sqrt{\frac{L}{a}}$．
v=$\frac{\sqrt{3aL}}{2}$      ①
由于带电粒子在电场力的作用下到达A点 时的动能时初动能的$\frac{7}{3}$倍，所以W=$\frac{maL}{2}$=$\frac{qEL}{2}$
所以U=$\frac{W}{q}$=$\frac{EL}{2}$
（2）据速度公式可知，v_y=gt=$\sqrt{Lg}$
所以tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（3）当存在磁场时，此离子从O点以原来的初速度水平抛出，它恰好通过B点，所以带电粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，所以磁场的方向垂直纸面向外．
由于：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$   ②
据几何关系可知：R=$\frac{\sqrt{3}L}{2}$   ③
联立①②③解得：B=$\frac{m\sqrt{gL}}{qL}$
答：（1）存在电场时，O、A两点间的电压$\frac{mgL}{2q}$．
（2）存在电场时，离子到达A点时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）该匀强磁场的磁感应强度大小为$\frac{m\sqrt{gL}}{qL}$及其方向垂直纸面向外．

点评 明确带电粒子的运动情况及遵循的规律是解题的前提，灵活应用平抛运动的知识、电势差公式和洛伦兹力提供向心力是解题的核心．