Question

19．如图所示，宽度为12$\sqrt{3}$L的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中Ⅰ、Ⅲ有匀强磁场，它们的磁感应强度大小相等，方向垂直纸面且相反．长为12$\sqrt{3}$L，宽为3L的矩形abcd紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O为dc边中点，P为dc边中垂线上一点，OP=18L．矩形内有匀强电场，电场强度大小为E，方向由A指向d．电荷量为q、质量为m、重力不计的带电粒子从a点以水平初速度（沿a指向b）飞入电场，经电场加速后恰能从O点射出，匀速运动一小段位移后进入磁场．
（1）求该粒子经过O点时速度；
（2）若粒子第一次进入磁场时，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切，求匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）若改变匀强磁场的磁感应强度大小，粒子过O点后第三次过dc中垂线可达P点，求该粒子从O点运动到P点的整个过程在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）从a点到O点，粒子做类平抛运动，由水平位移和竖直位移及电场强度E大小，由类平抛运动规律可以求出末速度的大小和方向．
（2）从O点沿直线射入Ⅲ区磁场后做匀速圆周运动恰好与右边界相切，画出运动轨迹，由几何关系关系求出半径，再由洛仑兹力提供向心力可求得磁感应强度的大小．
（3）由题意画出粒子的运动轨迹，由于每次粒子在磁场区域均偏转120°，那么由轨迹可以看出通过三次偏转后到达P点，则粒子在磁场中运动时间恰好为一个周期．

解答 解：（1）设粒子在a点的水平初速度大小为v₀，经O点出射时速度大小为v，与水平方向夹角为．
    粒子在电场中受力：qE=ma    
    由平抛知识可得：水平方向：$12\sqrt{3}×\frac{1}{2}={v}_{0}t$
                             竖直方向：$3L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
   vcosθ=v₀     $tanθ=\frac{at}{{v}_{0}}$
    联立以上几式可得：v=$2\sqrt{\frac{6qEL}{m}}$
                               θ=30°
（2）粒子第一次进入磁场，设粒子做匀速圆周运动的半径为R
    则有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    粒子运动轨迹刚好与区域Ⅲ右边界相切，如图所示：
    由几何关系可知：$R-Rsinθ=4\sqrt{3}L$
    联立以上两式得：B=$\sqrt{\frac{mE}{8qL}}$
（3）若改变匀强磁场的磁感应强度大小，设粒子做匀速圆周运动的半径为R′
    粒子过O点后第三次过dc中垂线可达P点，如图所示：
    由几何关系可知：
    $\sqrt{3}R′+12L×\frac{1}{6}×tanθ×2=18L×\frac{1}{3}$
    粒子在磁场中偏转三次，每次偏转圆心角均为120°，因此粒子在磁场中的运动时间恰好等于一个周期T．
    由圆周运动知识可知：$T=\frac{2πR′}{v}$
    联立以上三式可得：T=$\frac{π}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$  
答：（1）该粒子经过O点时速度为$2\sqrt{\frac{6qEL}{m}}$．
（2）若粒子第一次进入磁场时，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切，匀强磁场的磁感应强度大小B为$\sqrt{\frac{mE}{8qL}}$．
（3）若改变匀强磁场的磁感应强度大小，粒子过O点后第三次过dc中垂线可达P点，该粒子从O点运动到P点的整个过程在磁场中的运动时间为$\frac{π}{3}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$

点评 本题的题目看起来很长，信息也丰富，场区很复杂，但物理过程很直观明确．涉及的物理知识点主要有类平抛运动、匀速圆周运动、匀速直线运动等．要强调的是第三问，三次通过中垂线后通过P点，画运动轨迹要注意对称性，这样才能保证结果的正确性．