Question

5．如图所示，足够长的固定木板的倾角为37°，劲度系数k=36N/m的轻质弹簧的一端固定在木板上的P点，图中A、P间距等于弹簧的自然长度，现将质量m=1kg的可视为质点的物块放在木板上，在外力作用下将弹簧压缩到某一位置B点后释放，已知木板PA段光滑，AQ段粗糙，物块与木板间的动摩擦因数μ=$\frac{3}{8}$，物块在B点释放后将向上运动，第一次到达A点时速度大小为v₀=3$\sqrt{3}$m/s．取重力加速度g=10m/s²
（1）求物块第一次向下运动到A点时的速度大小v₁；
（2）已知弹簧弹性势能表达式为E_P=$\frac{1}{2}$kx²（其中x为弹簧形变量），求物块第一次向下运动过程中的最大速度值v；
（3）求物块在A点上方运动的总时间t．

Answer 1

分析 （1）运用动能定理，对物块在AQ段上滑和下滑过程分别列式，即可求解v₁；
（2）物块第一次向下运动过程中合力为零时速度最大，由胡克定律和平衡条件求出速度最大时弹簧的压缩量，再由系统的机械能守恒求最大速度v．
（3）根据位移等于平均速度乘以时间，求物块上滑和下滑的时间，从而求得总时间．

解答 解：（1）设物块从A点向上滑行的最大距离为S．根据动能定理，
上滑过程有：-mgSsin37°-μmgScos37°=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
下滑过程有：mgSsin37°-μmgScos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-0
联立解得：S=1.5m，v₁=3m/s
（2）物块第一次向下运动过程中合力为零时速度最大，则有：
mgsin37°=kx
根据物块和弹簧组成的系统机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mgsin37°x=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}$kx²；
解得：v=$\sqrt{10}$m/s
（3）设物块在A点上方上滑和下滑的时间分别为t₁和t₂．则有：
S=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$，S=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}$
总时间为：t=t₁+t₂；
联立解得：t=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$s
答：（1）物块第一次向下运动到A点时的速度大小v₁是3m/s．
（2）物块第一次向下运动过程中的最大速度值v是$\sqrt{10}$m/s．
（3）物块在A点上方运动的总时间t是$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$s．

点评 解决本题的关键要分段运用动能定理、机械能守恒定律研究物块的运动过程，要把握题中的信息：弹性势能表达式E_P=$\frac{1}{2}$kx²．要注意物块压缩弹簧时系统的机械能守恒，物块的机械能并不守恒．