Question

18．离子注入机是将所需离子经过加速、选择、扫描从而将离子“注入”半导体材料的设备，其整个系统如甲图所示，现将“束流扫描装置”简化如乙图所示． MN是理想平行板电容器，N板正中央有一小孔A作为离子的喷出口，在其正中间O有一粒子源，该粒子源能和电容器同步转动．为了研究方便建立了如图所示的xOy平面，y轴与平行于y轴的直线（x=$\frac{3L}{4}$） 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．粒子源持续不断地产生质量为m、电量为q的正粒子（不计电荷间的相互作用、初速度和重力，不考虑磁场边界效应）．已知O₁A与x轴重合，各点坐标A（0，0）、B（$\frac{3L}{4}$，0）、C（$\frac{3L}{4}$，L）、D（$\frac{3L}{4}$，$\frac{L}{4}$）．

 （1）电容器的电压连续可调，当磁场的磁感应强度B₀=$\frac{2\sqrt{qm{U}_{0}}}{Lq}$时，求粒子能从BC边上DC间出射的电压范围（结果用U₀表示）；
（2）保持（1）问中的磁感应强度B和打到D点时的电压不变，欲使粒子打到C点，现将电容器和粒子源绕O点同步旋转，求旋转的角度大小；
（3）请在直线x=$\frac{3L}{4}$右方设置一个或多个磁场区域，使得从O₁O入射D点出射的粒子最终经过x轴上x=2L点且沿y轴负方向运动（不必讲理由，只需画出或指出磁场的范围、强度、方向．合理的一种方案就行）

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出其运动轨道半径，应用牛顿第二定律与动能定理求出加速电压．
（2）作出粒子的运动轨迹，然后根据运动轨迹应用几何知识求出偏转角度．
（3）根据题目要求作出所加电场与磁场，作出粒子运动轨迹．

解答 解：（1）粒子从D点射出时，设半径为r，所加电压为U，
由几何关系有：r²=（$\frac{3}{4}$L）²+（r-$\frac{1}{4}$L）²，
解得：r=$\frac{5}{4}$L，
由牛顿第二定律得：qv_DB=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，
由动能定理得：$\frac{1}{2}$qU₁=$\frac{1}{2}$mv_D²，
解得：U₁=$\frac{25{U}_{0}}{4}$；
当减小电压时，粒子出射点上移，最终不能到达C，临界点在CD间（与CD相切），
其轨迹半径r=$\frac{3L}{4}$，
同理，可求得，U₂=$\frac{9{U}_{0}}{4}$；
因此电压范围为$\frac{9{U}_{0}}{4}$～$\frac{25{U}_{0}}{4}$；
（2）设应旋转的角度为α，从C点射出时，其轨迹如图所示：

由几何关系有：OC=$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{3L}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$L，
sinθ=$\frac{\frac{OC}{2}}{r}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
由于弦切角等于圆心角的一半，
则tan∠COB=$\frac{L}{\frac{3L}{4}}$=$\frac{4}{3}$，∠COB=53°，
则α=∠COB-θ=53°-30°=23°，
因此应旋转的角度为23°；
（3）设置的电场、磁场区域如图所示，从O₁O入射D点出射的粒子最终经过x轴上x=2L点且沿y轴负方向运动，大致画出粒子的运动轨迹如图所示．
 第一区域：方向向外，B₁=B₀，宽度为$\frac{3}{4}L$；
第二区域：方向向外，B₂=2.5B₀，宽度为$\frac{L}{2}$；

答：（1）粒子从D点射出时，电容器的电压范围为$\frac{9{U}_{0}}{4}$～$\frac{25{U}_{0}}{4}$；
（2）旋转的角度大小为23°；
（3）如上图所示．

点评 本题考查了粒子在电场中的加速、在磁场中的偏转问题，本题难度较大，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，作出粒子运动轨迹后由于几何知识求出粒子的轨道半径，由于动能定理与牛顿第二定律可以解题．