Question

18．初速为零的正离子经过电势差为U的电场加速后，从离子枪T中水平射出后进入无限大的磁感应强度B的匀强磁场中，距离离子枪右侧d处有一长为d的正对平行金属板，金属板间距也为d，且两金属板中线恰好与离子从离子枪出射的初速度方向共线，如图所示．不计重力，离子荷质比在什么范围内离子才能打在金属板上．

Answer 1

分析 由动能定理，可列出离子加速后获得的速度与电压关系式．离子进入磁场后做匀速圆周运动，根据几何关系，结合勾股定理可得出半径的范围，最后由牛顿第二定律，结合向心力表达式，即可求解离子能打在金属板上的比荷范围．

解答 解：正离子经加速电场加速的过程，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
若离子正好打到金属板的近侧边缘M，其轨迹如图，则其偏转半径R₁满足关系为：R₁²=d²+（R₁-$\frac{1}{2}$d）² 
即得：R₁=$\frac{5}{4}$d 
若离子正好打到金属板的远侧边缘N，则其偏转半径满足关系 R₂²=（2d）²+（R₂-$\frac{1}{2}$d）² 
即得：R₂=$\frac{17}{4}$d  
由牛顿第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 $\frac{m}{q}$=$\frac{RB}{v}$
将v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$代入得 $\frac{q}{m}$=$\frac{2U}{{R}^{2}{B}^{2}}$
将R₁=$\frac{5}{4}$d和R₂=$\frac{17}{4}$d分别代入上式解得 $\frac{{q}_{1}}{{m}_{1}}$=$\frac{32U}{25{B}^{2}{d}^{2}}$，$\frac{{q}_{2}}{{m}_{2}}$=$\frac{32U}{289{B}^{2}{d}^{2}}$
所以离子荷质比在$\frac{32U}{289{B}^{2}{d}^{2}}$≤$\frac{q}{m}$≤$\frac{32U}{25{B}^{2}{d}^{2}}$范围内离子才能打在金属板上．
答：离子荷质比在$\frac{32U}{289{B}^{2}{d}^{2}}$≤$\frac{q}{m}$≤$\frac{32U}{25{B}^{2}{d}^{2}}$范围内离子才能打在金属板上．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，运用动能定理求得加速获得的速度是基本方法．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，要抓住洛伦兹力提供向心力，能熟练运用牛顿第二定律与向心力结合得到半径表达式，本题利用几何关系，确定运动轨道半径的范围是解题的关键．