题目内容

7．如图1中A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板、加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场．已知B板电势为零，A板电势UA随时间变化的规律如图2所示，其中UA的最大值为U0，最小值为-2U0，在图1中，虚线MN表示与A、B板平行等距的一个较小的面，此面到A和B的距离皆为l．在此面所在处，不断地产生电量为q、质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电微粒的机会均等．这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动．设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电势，已知上述的T、U0、l、q和m等各量的值正好满足等式l2=$\frac{3}{16}×\frac{{{U_0}q}}{2m}{（\frac{T}{2}）^2}$．若不计重力，不考虑微粒间的相互作用，求：（结果用q、U0、m、T表示）

（1）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内产生的微粒中到达A板的微粒的最大速度vAm；
（2）在0-$\frac{T}{2}$范围内，哪段时间内产生的粒子能到达B板？
（3）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内产生的微粒中到达B板的微粒的最大速度vBm．

分析 （1）根据牛顿第二定律求出粒子的加速度，通过位移时间公式求出粒子到达极板的时间，最后由动能定理，即可求解．
（2）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内，设t=t1时刻产生的微粒达到A板时速度刚好为零，再结合速度与时间公式，位移与时间公式，即可求解．
（3）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内，理清各自运动性质，结合运动学公式，及动能定理，即可求解．

解答 解：在电压为U0时，微粒所受电场力为$\frac{{q{U_0}}}{2l}$，此时微粒的加速度为${a_0}=\frac{{q{U_0}}}{2ml}$
（1）在t=0时刻产生的微粒，将以加速度a0向A板加速运动，
经$\frac{T}{2}$时，位移为：$s=\frac{1}{2}{a_0}{（\frac{T}{2}）^2}=\frac{{q{U_0}}}{4ml}{（\frac{T}{2}）^2}=\frac{8}{16}×\frac{{q{U_0}}}{{2m{l^2}}}{（\frac{T}{2}）^2}•l＞l$
即t=0时刻产生的微粒，在不到$\frac{T}{2}$时就可直达A板，所以到达A板的微粒的最大速度vAm满足$\frac{1}{2}q{U_0}=\frac{1}{2}mv_{Am}^2$，
解得：${v_{Am}}=\sqrt{\frac{{q{U_0}}}{m}}$
（2）考虑临界状况：设t=t1时刻产生的微粒达到A板时速度刚好为零，则该微粒以加速度a0加速运动的时间为$\frac{T}{2}-{t_1}$，
再以大小为2a0的加速度减速运动一段时间，
设为△t，则${a_0}（\frac{T}{2}-{t_1}）-2{a_0}△t=0$
且$\frac{1}{2}{a_0}{（\frac{T}{2}-{t_1}）^2}-\frac{1}{2}×2{a_0}{（{△t}）^2}=l$
联立解得${t_1}=\frac{T}{4}$，$△t=\frac{T}{8}$，
即0～$\frac{T}{4}$时间内产生的微粒可直达A板；
（3）在$t=\frac{T}{4}$时刻产生的微粒，以加速度a0向A板加速的时间为$\frac{T}{4}$，
再以大小为2a0的加速度减速运动，经$△t=\frac{T}{8}$速度减为零（刚好到A板），
此后以大小为2a0的加速度向B板加速运动
设加速时间为$△{t_1}=\frac{T}{2}-\frac{T}{8}=\frac{3T}{8}$时的位移大小为s1，
则${s_1}=\frac{1}{2}×2{a_0}{（{△{t_1}}）^2}=\frac{{q{U_0}}}{2ml}{（\frac{3T}{8}）^2}=\frac{9}{16}×\frac{{q{U_0}}}{{2m{l^2}}}{（\frac{T}{2}）^2}•l＞2l$
即微粒将打到B板上，不再返回，而$t=\frac{T}{4}$时刻产生的微粒到达B板的速度最大，
根据动能定理可得：$2q{U_0}=\frac{1}{2}mv_{Bm}^2$
解得：$v_{Bm}^{\;}=2\sqrt{\frac{{q{U_0}}}{m}}$
答：（1）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内产生的微粒中到达A板的微粒的最大速度$\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$；
（2）在0-$\frac{T}{2}$范围内，0～$\frac{T}{4}$时间内产生的粒子能到达B板；
（3）在t=0到t=$\frac{T}{2}$这段时间内产生的微粒中到达B板的微粒的最大速度2$\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$．

点评 解决本题的关键理清粒子的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，注意动能定理中力做功的正负，难度中等．

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（3）由图象大致可判断出W与v的关系是W∝v2．

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