Question

7．如图所示，竖直放置的半圆形光滑绝缘轨道半径为R，圆心为O，下端与绝缘水平轨道在B点平滑连接．一质量为m的物块（可视为质点），置于水平轨道上的A点．已知A、B两点间的距离为L，物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．
（1）若物块能到达的最高点是半圆形轨道上与圆心O等高的C点，则物块在A点水平向左运动的初速度应为多大？
（2）若对物块始终施加水平向左的恒力F=$\frac{5}{3}$μmg，并将其从A点由静止释放，且运动过程始终不脱离轨道，求物块第2n（n=1、2、3、…）次经过B点时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）从A到C由动能定理即可求得初速度；
（2）每次都利用动能定理即可求得到达B点的速度表达式，则可得出对应的通项式．

解答 解：（1）设物体在A点时的速度为v₁，由动能定理有：
-μmgL-mgR=0-$\frac{1}{2}$m${{v}_{1}}^{2}$　
解得：v₁=$\sqrt{2g（μL+R）}$．
（2）设第2、4、6、…2n次经过B点时的速度分别为v₂、v₄、…v_2n
第2、4、6…2n次离开B点向右滑行的最大距离分别为L₁、L₂、…L_n，则有：
（qE-μmg）L=$\frac{1}{2}$m${{v}_{2}}^{2}$　
-（qE+μmg）L₁=0-$\frac{1}{2}$m${{v}_{2}}^{2}$　
（qE-μmg）L₁=$\frac{1}{2}$m${{v}_{4}}^{2}$
解得：$\frac{{v}_{4}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{qE-μmg}{qE+μmg}}$=$\frac{1}{2}$　
同理$\frac{{v}_{6}}{{v}_{4}}$=$\frac{1}{2}$…$\frac{{v}_{2n}}{{v}_{2n-2}}$=$\frac{1}{2}$
综上有：$\frac{{v}_{2n}}{{v}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1
得：v_2n=（$\frac{1}{2}$）^n-2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$．
答：（1）物块在A点水平向左运动的初速度应为$\sqrt{2g（μL+R）}$
（2））物块第2n（n=1，2，3…）次经过B点时的速度大小为（$\frac{1}{2}$）^n-2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$

点评 本题考查圆周运动和平抛运动的综合，知道圆周运动在最低点和最高点向心力的来源，结合动能定理和牛顿第二定律进行求解．