Question

7．水平面上停着一质量为2m的小车，小车与水平面间的摩擦可忽略不计．有几个队员和一个队长列队前行．队长押后，每名队员的质量都为m，当队员和队长忽然发现前面的小车时，都以相同的速度v₀跑步，每名队员在接近小车时又以2v₀的速度跑上小车坐下，队长却因跑步速度没有改变而恰好未能跑上小车．
（1）问共有几名队员？
（2）后来队长速度变为比$\frac{{v}_{0}}{2}$略大，队员一个个以相对小车的速度u和小车同方向跳下，结果队长恰能跑上小车，问队员总共消耗多少内能？

Answer 1

分析 （1）队长恰好未能跑上小车，说明小车与队长的速度相同，以队员与小车组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律求解．
（2）队长恰能跑上小车，说明小车与队长的速度均为$\frac{{v}_{0}}{2}$，对队员跳下的过程，分别运用动量守恒定律列式，求出每个队员跳下时的速度，再由能量守恒定律求解．

解答 解：（1）设共有n名队员．
以n名队员与小车组成的系统为研究对象，取队员原来的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得
    nm•（2v₀）=（nm+2m）v
据题有 v=v₀．
联立解得  n=2
（2）设第一名队员跳下时的速度为v₁，第二名队员跳下时的速度为v₂．
根据动量守恒定律得
第一名队员跳下过程有（nm+2m）v₀=mv₁+（m+2m）（v₁-u）
第二名队员跳下过程有（m+2m）（v₁-u）=mv₂+2m•$\frac{{v}_{0}}{2}$
联立解得 v₁=v₀+$\frac{3}{4}$u，v₂=2v₀-$\frac{3}{4}$u．
根据能量守恒定律得：
队员总共消耗的内能为 E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}•2m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}•（2m+2m）{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{3}{4}{v}_{0}u$+$\frac{9}{32}m{u}^{2}$
答：
（1）共有2名队员．
（2）队员总共消耗的内能为$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{3}{4}{v}_{0}u$+$\frac{9}{32}m{u}^{2}$．

点评 解决本题的关键是灵活选择研究对象，要注意队长没有参与跳车，选择正方向，运用动量守恒定律分段研究．