Question

1．在水平圆盘上有一过圆心的光滑水平槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O′点，其中O点为圆盘的中心，O′点为圆盘的边缘．橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的$\frac{1}{3}$．现使圆盘角速度由零缓慢增大，求：
（1）圆盘的角速度ω₀为多大时，外侧橡皮绳恰好无拉力．
（2）圆盘的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$与ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$时，小球做圆周运动的半径之比r₁：r₂．

Answer 1

分析 （1）外侧橡皮绳无拉力时，靠内侧绳的拉力提供向心力，结合牛顿第二定律和胡克定律求出圆盘转动的角速度大小．
（2）根据牛顿第二定律和胡克定律，抓住合力提供向心力求出半径之比．

解答 解：（1）当圆盘的角速度为ω₀时，外侧橡皮绳恰好无拉力，
则有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{1}{3}R）=m\frac{2}{3}R{{ω}_{0}}^{2}$，
可得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$．
（2）当$ω={ω}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}＜{ω}_{0}$，故两绳均有拉力，
设此时半径为r₁，则有：
$k（{r}_{1}-\frac{R}{3}）-k（R-{r}_{1}-\frac{R}{3}）=m{r}_{1}{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${r}_{1}=\frac{4}{7}R$，
当$ω={ω}_{2}=\sqrt{\frac{11k}{18m}}＞{ω}_{0}$，故右侧绳无拉力，
设此时半径为r₂，则有：
$k（{r}_{2}-\frac{R}{3}）=m{r}_{2}{{ω}_{2}}^{2}$，
解得${r}_{2}=\frac{6}{7}R$，
所以r₁：r₂=2：3．
答：（1）圆盘的角速度ω₀为$\sqrt{\frac{k}{2m}}$时，外侧橡皮绳恰好无拉力．
（2）圆盘的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$与ω₂=$\sqrt{\frac{11k}{18m}}$时，小球做圆周运动的半径之比r₁：r₂为2：3．

点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律和胡克定律综合求解，难度中等．