Question

20．如图所示，一质量为m的小球，可视为质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，轻绳柔软且不可伸长，现把小球从O点的正上方离O点的距离为$\frac{3}{4}$R的O₁点以水平速度v₀=$\sqrt{\frac{2gR}{3}}$抛出．求：
（1）绳绷直后瞬间，小球的速度；
（2）当小球运动到O点的正下方时，小球的速度．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律，结合几何关系，确定此时绳子刚好绷直时小球所处的位置，将该速度分解沿绳子和垂直绳方向，抓住绷紧后瞬间仅剩下垂直绳子方向的分速度求出绷紧后瞬间小球的速度．
（2）根据机械能守恒求出小球运动到O点正下方时的速度．

解答 解：小球做平抛运动．设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，
则 v₀t=Rsinθ，$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{3}{4}R-Rcosθ$，
解得θ=90°，可知绳子处于水平状态时，绳子绷直，
根据h=$\frac{3}{4}R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{3R}{2g}}$，
设此时小球速度与水平方向的夹角为α，则tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{\frac{3gR}{2}}}{\sqrt{\frac{2gR}{3}}}=\frac{3}{2}$，
将小球的速度分解为沿绳子方向和垂直绳子方向，绷直后的瞬间，仅剩下垂直绳子方向的分速度，
即v_⊥=vsinα=${v}_{y}=\sqrt{\frac{3gR}{2}}$，
（2）根据机械能守恒定律得，$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{⊥}}^{2}$，
解得v=$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．
答：（1）绳绷直后瞬间，小球的速度为$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$；
（2）当小球运动到O点的正下方时，小球的速度为$\sqrt{\frac{7gR}{2}}$．

点评 本题关键是将小球的运动分为三个过程进行分析讨论，平抛运动过程、突然绷紧的瞬时过程和变速圆周运动过程；然后根据对各段运用平抛运动位移公式、速度分解法则、机械能守恒定律进行求解，有一定的难度．