Question

12．如图所示，粗糙水平轨道AB与竖直平面内的光滑半圆轨道BDC在B处相切，B、C分别为半圆轨道的最低点和最高点，一个质量为m的物块P（可视为质点）被一根细线拴住放在水平轨道上，细线的左端固定在竖直墙壁上，墙壁和物块P之间夹一根被压缩的轻弹簧，此时P到B点的距离为x₀．现将细线剪断，物块P被弹簧向右弹出后滑上半圆轨道，恰好能通过C点，最后落回水平轨道上的E点（题中未画出）．物块P与水平轨道间的摩擦因数为μ，半圆轨道的半径为R，空气阻力不计，重力加速度为g，求：
（1）B、E两点间的距离x；
（2）物块P经过B点时的速度大小v_B；
（3）细线未剪断时弹簧的弹性势能E_P．

Answer 1

分析 （1）物块恰好能通过C点，由重力提供向心力，由此求出物块通过C点的速度．物块离开C点后做平抛运动，由平抛运动的规律可求得B、E两点间的距离x；
（2）研究物块从B运动到C的过程，由机械能守恒定律求物块P经过B点时的速度大小v_B；
（3）从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒求解细线未剪断时弹簧的弹性势能E_P．

解答 解：（1）由于物体P恰好能通过最高点C，则
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$
物块离开C点后做平抛运动，则有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Ct
联立解得 x=2R
（2）物块由B到C的过程，由机械能守恒定律得
    $\frac{1}{2}$mv_B²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²；
得：v_B=$\sqrt{5gR}$
（3）从剪断细线到P经过B点的过程中，由能量守恒得：
   E_P=μmgx₀+$\frac{1}{2}$mv_B²=μmgx₀+$\frac{5}{2}$mgR
答：
（1）B、E两点间的距离x是2R；
（2）物块P经过B点时的速度大小v_B是$\sqrt{5gR}$；
（3）细线未剪断时弹簧的弹性势能E_P是μmgx₀+$\frac{5}{2}$mgR．

点评 本题的关键要把握各个过程和状态的物理规律，知道物块刚好到达C点的临界条件是：重力等于向心力，分段运用机械能守恒定律和能量守恒定律进行研究．