Question

9．某物理兴趣小组举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示．赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为r的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到D点，并能越过以D点为圆心半径为R的壕沟．已知赛车质量m=0.2kg，通电后以额定功率P=1.5w工作，进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中AB间距L=10.00m，r=0.18m，R=4m，θ=60°．问：
（1）要使赛车能够通过弧形壕沟，则赛车过D点时速度至少多少？
（2）要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g=l0m/s²）
（3）若赛车刚好能过小圆轨道最高点，求赛车经过D点后第一次落地点与D点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）根据类平抛运动的位移公式求解；
（2）对赛车从A到D应用动能定理，根据（1）中D点的速度求得时间；再根据赛车能通过C点，对赛车在C点应用牛顿第二定律求得速度，然后对A到C应用动能定理求得时间，然后取两时间中较大的那个最小值；
（3）根据赛车刚好能过小圆轨道最高点，应用牛顿第二定律求得在C点的速度，然后应用动能定理求得在D点的速度，即可根据平抛运动的位移公式求解．

解答 解：（1）小球离开D点后做平抛运动，那么，要使赛车能够通过弧形壕沟，竖直位移为h=Rcosθ，所以，平抛运动的时间为：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2Rcos60°}{g}}=\sqrt{0.4}s$；
又有平抛运动的水平位移x≥Rsinθ，所以，赛车过D点时速度为：
${v}_{D}=\frac{x}{t}≥\frac{Rsinθ}{t}=\sqrt{30}m/d≈5.48m/s$；
（2）要使赛车完成比赛，那么赛车必能通过C点和D点，且在D点的速度为：${v}_{D}≥\sqrt{30}m/s$；
又有赛车运动过程，只有牵引力、阻力和重力作用，那么对赛车从A到D运用动能定理可得：$Pt-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$
所以有：$t=\frac{fL+\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}}{P}≥4s$；
赛车要能通过C点，那么对赛车在C点应用牛顿第二定律可得：$\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}≥mg$
那么由赛车只受牵引力、阻力和重力作用，对赛车从A到C应用动能定理可得：
$Pt′-fL-2mgr=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：$t′=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgr+fL}{P}≥\frac{\frac{5}{2}mgr+fL}{P}=2.6s$；
故要使赛车完成比赛，电动机至少工作4s；
（3）若赛车刚好能过小圆轨道最高点，则对赛车在C点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{r}$；
那么，由赛车从C到D只有重力做功可，应用动能定理可得：$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}+2mgr=\frac{5}{2}mgr$
解得：${v}_{D}′=\sqrt{5gr}=3m/s$；
那么由赛车经过D点后做平抛运动，v_D′＜v_D，故赛车落在圆弧上；
由平抛运动位移公式可得：x=v_D′t₁，$y=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
又有：x²+y²=R²；
解得：t₁=0.8s；
所以，赛车经过D点后第一次落地点与D点的水平距离为：
x=v_D′t₁=2.4m；
答：（1）要使赛车能够通过弧形壕沟，则赛车过D点时速度至少为5.48m/s；
（2）要使赛车完成比赛，电动机至少工作4s；（取g=l0m/s²）
（3）若赛车刚好能过小圆轨道最高点，则赛车经过D点后第一次落地点与D点的水平距离为2.4m．

点评 经典力学问题，一般先对物体进行受力分析求得合外力，然后根据几何关系及牛顿第二定律得到运动状态；分析做功情况，即可由动能定理、能量守恒解决相关问题．