Question

5．如图所示，为某种透明介质的截面图，△AOC为等腰直角三角形，BC为半径R=10cm的四分之一圆弧，AB与水平屏幕MN垂直并接触于A点．由红光和紫光两种单色光组成的复色光射向圆心O，在AB分界面上的入射角i=45°，结果在水平屏幕MN上出现两个亮斑．已知该介质对红光和紫光的折射率分别为n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，n₂=$\sqrt{2}$．
①判断在AM和AN两处产生亮斑的颜色；
②求两个亮斑间的距离．

Answer 1

分析 ①由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$可求出红光与紫光的临界角，则可判断是否能发生全反射，则可得出两光点的性质；
②由折射定律求出折射角，由几何知识可求得两光斑的距离．

解答 解：①设红光和紫光的临界角分别为C₁、C₂，
sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得：C₁=60°，同理C₂=45°，
i=45°=C₂，i=45°＜C₁
所以紫光在AB面发生全反射，而红光在AB面一部分折射，一部分反射，且由几何关系可知，反射光线与AC垂直，所以在AM处产生的亮斑P₁为红色，在AN处产生的亮斑P₂为红色与紫色的混合色；
 ②画出如图光路图，设折射角为r，两个光斑分别为P₁、P₂根据折射定律有：
n₁=$\frac{sinr}{sini}$
求得：$sinr=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
由几何知识可得：$tanr=\frac{R}{{A{P_1}}}$，
解得：$A{P_1}=5\sqrt{2}$cm
由几何知识可得△OA P₂为等腰直角三角形，解得：AP₂=10cm
所以有：${P_1}{P_2}=（5\sqrt{2}+10）$cm
答：①在AM处产生的亮斑P₁为红色，在AN处产生的亮斑P₂为红色与紫色的混合色；
②两个亮斑间的距离为（5$\sqrt{2}$+10）cm．

点评 本题首先要能正确作出光路图，掌握全反射的条件，并能正确应用几何关系和折射定律结合进行解题．