Question

15．人们利用飞鸟的翅膀制造了飞机的机翼，从而使飞机遨游天空，其基本原理是：鸟与飞机在空中飞行时，受到向上的升力分别是由鸟的翅膀和机翼上下表面的压力差产生的，假设鸟飞行时获得的升力与飞机在跑道上滑行时获得向上的升力有相同的规律，均满足F=cSv²，式中c为比例系数且为定值，S为鸟翅膀或飞机机翼的面积，v为运动速度，已知某类型飞机的机翼面积s₂是鸟翅膀面积S₁的1000倍，鸟质量m₁=0.15kg，飞机质量m₂=1.5×10⁴kg，鸟能离开地面飞行时的最小速度为12m/s，如果飞机在跑道上由静止开始匀加速滑行时的加速度a=12m/s²，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）此飞机的跑道至少为多长
（2）如果飞机起飞后在空中水平飞行时受到的空气阻力f与飞机飞行速度v的平方成正比，则当飞机升空到某一高度水平飞行时保持水平推力不变，作变加速运动，当速度为v₁时，加速度为a₁，当速度为v₂时，加速度为a₂，当速度为v₃时，此时飞机匀速飞行，则a₁与a₂的比值为多少．

Answer 1

分析 （1）鸟正常飞行和飞机正常飞行时，升力等于重力，即可求得飞机起飞速度，由运动学公式求的位移；
（2）根据牛顿第二定律即可求得加速度之比

解答 解：（1）鸟正常飞行时
F=m₁g
F=CS₁v²
联立解得$c=\frac{{m}_{1}g}{{S}_{1}{v}^{2}}$
飞机刚好起飞时
${m}_{2}g=c{S}_{2}v{′}^{2}$
联立解得v′=120m/s
由运动学公式可知
$x=\frac{v{′}^{2}}{2a}=\frac{12{0}^{2}}{2×12}m=600m$
（2）由牛顿第二定律可知
$F-{kv}_{1}^{2}=m{a}_{1}$
$F-{kv}_{2}^{2}=m{a}_{2}$
F=${kv}_{3}^{2}$
联立解得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{3}^{2}{-v}_{1}^{2}}{{v}_{3}^{2}{-v}_{2}^{2}}$
答：（1）此飞机的跑道至少为600m
（2）a₁与a₂的比值为$\frac{{v}_{3}^{2}{-v}_{1}^{2}}{{v}_{3}^{2}{-v}_{2}^{2}}$

点评 本题主要考查了牛顿第二定律，通过信息知道mg=cSv²，和F-f=ma即可求得