Question

17．如图所示，在xoy平面内，在x＞0范围内以x轴为电场和磁场的边界，在x＜0范围内以第Ⅲ象限内的直线OM为电场与磁场的边界，OM与x轴负方向成θ=45°角，在边界的下方空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.1T，在边界的上方有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=32N/C；在y轴上的P点有一个不计重力的带电微粒，以沿x轴负方向的初速度v₀=2×10³m/s射出，已知OP=0.8cm，微粒所带电荷量q=-5×10^-18C，质量m=1×10^-24kg，求：
（1）带电微粒第一次进入电场时的位置坐标；
（2）带电微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界经历的总时间；
（3）带电微粒第四次经过电磁场边界时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在磁场中运动半径公式公式求出粒子在磁场中运动的半径，结合几何关系求出带电微粒第一次进入电场时的位置坐标；
（2）带电粒子在磁场中先做四分之一圆周进入匀强电场，向上做匀减速运动，然后返回做匀加速直线运动，进入磁场后又做四分之一圆周，再进入电场做类平抛运动，结合半径公式、周期公式和运动学公式求出带电微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界经历的总时间．
（3）微粒从B点第三次经过电磁场边界水平向左进入电场后做类平抛运动，根据牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式通过几何关系求出带电微粒第四次经过电磁场边界时的速度大小．

解答 解：（1）带电微粒从P点开始在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，第一次经过磁场边界上的A点，由半径公式有：
$r=\frac{mv}{Bq}$=$\frac{1×1{0}^{-24}×2×1{0}^{3}}{5×1{0}^{-8}×0.1}$m=4×10^-3 m
因为OP=0.8cm，匀速圆周运动的圆心在OP的中点C，由几何关系可知以，A点位置的坐标为（-4×10^-3 m，-4×10^-3 m）．
（2）带电微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为$T=\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π×1{0}^{-24}}{5×1{0}^{-18}×0.1}$s=1.256×10^-5 s
由图可知，微粒运动四分之一个圆周后竖直向上进入电场，故
t₁=$\frac{1}{4}$$T=\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{π×1{0}^{-24}}{2×5×1{0}^{-18}×0.1}$s=0.314×10^-5 s
微粒在电场中先做匀减速直线运动到速度为零，然后反向做匀加速直线运动，微粒运动的加速度为：
$a=\frac{qE}{m}$，
故在电场中运动的时间为：
t₂=$\frac{{2{v_0}}}{a}$=$\frac{{2m{v_0}}}{Eq}$
代入数据解得：t₂=2.5×10^-5 s
微粒再次进入磁场后又做四分之一圆周运动，故有：
t₃=t₁=0.314×10^-5 s
所以微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=3.128×10^-5 s
（3）微粒从B点第三次经过电磁场边界水平向左进入电场后做类平抛运动，则加速度为：
$a=\frac{qE}{m}$=$\frac{5×1{0}^{-18}×32}{1{0}^{-24}}$m/s²=1.6×10⁸ m/s²
则第四次到达电磁场边界时有：
$y=\frac{1}{2}at_4^2$
x=v₀t₄
tan45°=$\frac{y}{x}$
得：v_y=at₄=4×10³ m/s
则微粒第四次经过电磁场边界时的速度为：
$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=2\sqrt{5}$×10³ m/s．
答：（1）带电微粒第一次进入电场时的位置坐标为（-4×10^-3 m，-4×10^-3 m）．；
（2）带电微粒从P点出发到第三次经过电磁场边界经历的总时间为3.128×10^-5 s；
（3）带电微粒第四次经过电磁场边界时的速度大小为4×10³ m/s．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意粒子做匀变速直线运动，还是做类平抛运动．