题目内容

4．某学生设计一试验来粗略验证向心力的表达式F向=m（$\frac{2π}{T}$）2r，如图所示，细线下面悬挂一个钢球，细线上端固定在铁架台上．将画着一个圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时正好位于圆心，如果小球的向心力F向和合力F合相等，则说明向心力的表达式正确．
（1）用手带动钢球，设法使它沿纸上的圆悬空做匀速圆周运动，用秒表记录钢球运动n圈所用时间t，用直尺测出纸上的圆的半径为r，如果向心力的表达式正确，并假设钢球质量为m，则这个实验中由向心力表达式求出来的向心F向=$\frac{4{π}^{2}m{n}^{2}r}{{t}^{2}}$；
（2）然后，测出线的长度为L，假设钢球可看做质点，我们再从力的角度计算钢球的合力F合=$\frac{mgr}{\sqrt{{L}^{2}-{r}^{2}}}$；
（3）在本实验中小球的质量不需要（“需要”或“不需要”）测出；
（4）由于小球半径未考虑会导致从力的角度计算出的F合偏大（选填“偏大”、“偏小”或“不变”）

分析 （1）先求出周期，根据向心力的周期公式求解向心力；
（2）对球受力分析，受拉力和重力，合力提供向心力，根据平行四边形定则列式求解；
（3）从实验原理的角度分析即可；
（4）根据数学知识分析即可．

解答 解：（1）钢球运动n圈所用时间t，则周期为T=$\frac{t}{n}$，
这个实验中由向心力表达式求出来的向心为：
F向=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}m{n}^{2}r}{{t}^{2}}$
（2）对小球受力分析如图所示，则有：
F合=mgtanθ=$\frac{mgr}{h}$=$\frac{mgr}{\sqrt{{L}^{2}-{r}^{2}}}$，
（3）根据$\frac{4{π}^{2}m{n}^{2}r}{{t}^{2}}$=$\frac{mgr}{\sqrt{{L}^{2}-{r}^{2}}}$ 可知，质量可以约去，则不需要测出小球的质量，
（4）根据F合=$\frac{mgr}{\sqrt{{L}^{2}-{r}^{2}}}$  可知，（F合）2=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{（\frac{L}{r}）^{2}-1}$，
设球的半径为r′，若考虑小球半径，则有（F合）2=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{（\frac{L+r′}{r+r′}）^{2}-1}$＞$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{（\frac{L}{r}）^{2}-1}$，
则由于小球半径未考虑会导致从力的角度计算出的F合偏大．
故答案为：（1）$\frac{4{π}^{2}m{n}^{2}r}{{t}^{2}}$；（2）$\frac{mgr}{\sqrt{{L}^{2}-{r}^{2}}}$；（3）不需要；（4）偏大．

点评 通过实验数据来粗略验证向心力表示式，培养学生善于分析问题与解决问题的能力，同时运用力的合成寻找向心力的来源．

练习册系列答案
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