Question

4．如图所示，一与水平面夹角为θ=37°的倾斜金属平行导轨有足够长的一部分（ab、cd虚线之间）处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B=2T；导轨宽度L=1m，底部连接一阻值为R₁=2Ω的定值电阻，在磁场边界cd内侧附近用两个绝缘立柱挡住一质量为M=2kg，导轨间部分电阻为R₂=3Ω的导体棒MN．现使一质量为m=0.5kg，导轨间部分电阻为r=0.3Ω的导体棒PQ从磁场上边界ab上方导体轨上某处自由下滑，进入磁场时的速度v₀=3m/s．两导体棒始终与导轨接触良好，且垂直导轨放置，导轨电阻不计，不计一切摩擦，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）分析导体棒PQ进入磁场后的运动特点，并求导体棒PQ刚进入磁场时通过定值电阻R₁的电流．
（2）导体棒MN受到立柱的最大弹力是多少？
（3）当导体棒MN受到立柱的弹力最小时，导体棒PQ的速度大小及电阻R₁消耗的电功率是多少？

Answer 1

分析 （1）PQ棒进入磁场后，切割磁感线，相当于电源，根据切割公式求解感应电动势，根据欧姆定律求解电流；
（2）当PQ棒刚刚进入磁场时，速度最大，故安培力最大，导体棒MN受到立柱的支持力最大，根据平衡条件列式求解；
（3）当导体棒MN受到立柱的弹力最小时，棒PQ做匀速直线运动，根据平衡条件并结合安培力公式求解速度大小和电流，得到电阻R₁消耗的电功率．

解答 解：（1）导体棒PQ进入磁场时的速度v₀=3m/s，故E=BLv₀=2×1×3=6V，
故电流：I=$\frac{E}{r+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$=$\frac{6}{{0.3+\frac{2×3}{2+3}}}$=4A，
故导体棒PQ受安培力：F_A=BIL=2×4×1=8N，
重力的下滑分力：G₁=mgsinθ=0.5×10×0.6=3N，
由于安培力大于重力的下滑分力，故导体棒做加速度减小的减速运动，当加速度减小为零时，速度达到最大；
电阻R₁与R₂并联，电流之比等于电阻的反比，为3：2，故导体棒PQ刚进入磁场时通过定值电阻R₁的电流：${I_1}=\frac{3}{3+2}I=\frac{3}{5}×4A=2.4A$；
（2）当PQ棒刚刚进入磁场时，速度最大，故安培力最大，此时流过MN的电流为：I₂=I-I₁=4-2.4=1.6A；
此时MN棒受重力、支持力、平行导轨向下的安培力和平行导轨向上的支持力，故：N=Mgsin37°+BI₂L=2×10×0.6+2×1.6×1=15.2N；
（3）当导体棒MN受到立柱的弹力最小时，速度最小，此时导体棒PQ做匀速直线运动，设速度为v，则：
B$\frac{BLv}{r+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$L=mgsin37°，
解得：v=1.125m/s；
干路电流：I=$\frac{BLv}{r+\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}}$=1.5A；
电阻R₁与R₂并联，电流之比等于电阻的反比，为3：2，故流过电阻R₁的电流：${I_1}=\frac{3}{3+2}I=\frac{3}{5}×1.5A=0.9A$
故电阻R₁的电功率为：P_R1=$I_1^2{R_1}={0.9^2}×2=1.62W$；
答：（1）导体棒PQ进入磁场后的做加速度不断减小的减速运动，最后做匀速直线运动；导体棒PQ刚进入磁场时通过定值电阻R₁的电流为2.4A．
（2）导体棒MN受到立柱的最大弹力是15.2N；
（3）当导体棒MN受到立柱的弹力最小时，导休棒PQ的速度大小为1.125m/s，电阻R₁消耗的电功率是1.62W．

点评 本题是力电综合问题，首先要明确电路结构，其次要分析清楚导体棒的受力情况和运动情况，根据安培力公式、欧姆定律、切割公式和平衡条件列式求解．