Question

15．在光滑水平面上，有一磁感应强度为B的竖直向下的匀强磁场，磁场的两边界平行，如图所示．边长为L的正方形线框abcd是由均匀电阻丝制成，线框的总电阻为R，磁场的宽度是线框宽度的2倍，确定下列问题
（1）线框在外界水平拉力作用下以v₀速度匀速穿过匀强磁场区域，求水平拉力做的功．
（2）在上述情况下，以线框的cd边进磁场为t=0时刻，试画出ab两点的电压U_ab-t图象（要求纵、横坐标的标度要按比例标出）
（3）若使线框以v₀的初速度滑入该匀强磁场，金属框刚好能全部穿过磁场，求线框进入磁场和穿出磁场的过程中产生的热量分别为多少？

Answer 1

分析 （1）依据安培力表达式，结合闭合电路欧姆定律，及力做功表达式，即可求解；
（2）根据线框进入磁场，cd边切割磁感应线，而完全进入两边均切割，当出磁场时，ab边切割磁感应线，结合其两端电压与电源电动势关系，即可求解；
（3）依据动量定理，结合电量综合表达式，求解速度的变化关系，再由能量转化与守恒定律，即可求解线框进入磁场和穿出磁场的过程中产生的各自热量．

解答 解：（1）根据安培力大小，F=BIL
依据闭合电路欧姆定律，$I=\frac{BLv}{R}$
则水平拉力做功为，W=2BILL
解得：$W=\frac{{2{B^2}{L^3}v}}{R}$
（2）当线框刚进入时，ab两端电压是电源电动势的四分之一，当完全进入时，ab两端电压即等于电源的电动势；
当线框出磁场时，ab边切割磁感线，则其两端电压，为路端电压，即为电源的电动势四分之三，
U_ab-t图象如图所示：

（3）依据动量定理，则有，线框入磁场：$B{\bar I_1}L△{t_1}=m△{v_1}$即：BLq₁=m△v₁
同理，出磁场：BLq₂=m△v₂
而电量表达式，$q=\bar I△t=\frac{△ϕ}{△tR}△t=\frac{△ϕ}{R}$
可见，q₁=q₂
所以，△v₁=△v₂
设线框全部进入磁场中时的速度为v，则：v₀-v=v-0，所以，$v=\frac{1}{2}{v_0}$
那么${Q_1}=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{3}{8}m{v_0}^2$
${Q_2}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{8}m{v_0}^2$
答：（1）水平拉力做的功$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．
（2）ab两点的电压U_ab-t图象如上图所示；
（3）线框进入磁场和穿出磁场的过程中产生的热量分别为$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$与$\frac{1}{8}m{v}_{0}^{2}$．

点评 考查闭合电路欧姆定律，及力做功与安培力表达式的内容，掌握动量定理，能量转化与守恒定律的应用，理解线框穿过磁场时，ab 电压与电源电动势的关系，注意内电压与路端电压的区别．