Question

2．在某星球上有一套如图甲所示的装置：水平面左侧竖直挡板上固定一轻质弹簧，弹簧自由状态下右端处于A位置．可视为质点的质量为M的小球1静止于A点但与弹簧不粘连．水平面右侧B点的正上方，有一长度为R且可绕水平转动轴O在竖直平面内旋转的轻杆，轻杆下端连着一质量未知的小球2，静止时小球2恰在B点．开始时使小球1向左压缩弹簧，而后静止释放，小球1运动到B眯后与杆上的小球2碰撞，并将其动能的一部分传递给小球2，使小球2在竖直平面内做圆周运动．利用装置上方的速度传感器和O点的力传感器，可测量小球运动到最高点的速度与小球在最高点时杆受弹力的大小（传感器未画出），多次压缩弹簧，重复上述过程，与传感器相连的计算机最后拟合出的Fv²图象如图乙所示，图象中的a、b、c为已知值．已知水平面AB段长L，与小球1之间的动摩擦因数为μ，其它部分摩擦不计，求：

（1）小球2的质量m；
（2）当v²=c时，杆受小球弹力的大小和方向；
（3）若球1与球2相撞，球1动能的$\frac{3}{4}$传递给球2，球2运动到最高点时杆中弹力恰为0，这种情形下压缩弹簧所具有的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）由图乙分析小球在各点处的速度与力之间的关系，根据向心力公式列式联立即可求得物体的质量；
（2）分析当v²=c时，小球的运动情况，根据向心力公式即可求得杆受小球弹力的大小和方向；
（3）小球2从最低点运动到最高点的过程中，由系统机械能守恒列式，再对球1碰撞前过程由机械能守恒列式，联立即可求得碰撞前弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）到最高点速度为0时，弹力F=a=mg
弹力为零时，v²=b，又mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以g=$\frac{b}{R}$
解得：m=$\frac{a}{g}$=$\frac{aR}{b}$；
（2）v²大于b时，小球受到向下的拉力，
由向心力公式可得：mg+T=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
T=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mg=a（$\frac{c}{b}$-1）
由牛顿第三定律可知，杆受到的拉力为：a（$\frac{c}{b}$-1），方向竖直向上；
（3）小球2从最低点运动到最高点的过程中，由系统机械能守恒得；
$\frac{1}{2}$mv_B²=2mgR+$\frac{1}{2}$mv²
小球1在AB段运动的过程中，由动能定理得：
E_kA=μMgL+$\frac{1}{2}$Mv₁²=μMgL+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$mv_B²
E_P=E_kA=μML$\frac{b}{R}$+$\frac{10}{3}aR$
答：（1）小球2的质量m为$\frac{aR}{b}$
（2）当v²=c时，杆受小球弹力的大小和方向为a（$\frac{c}{b}$-1），方向竖直向上；
（3）压缩弹簧所具有的最大弹性势能μML$\frac{b}{R}$+$\frac{10}{3}aR$

点评 本题考查机械能守恒定律以及向心力公式的应用，要注意分析图象中速度和力之间的关系是解题的关键，要能从图中找出物体的受力特点，从而根据向心力公式求解，同时注意机械能守恒定律的正确应用．