题目内容
11．2007年10月24日18时05分，中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空，“嫦娥奔月”成为中国航天的现实．为了方便研究，我们将“嫦娥奔月”的过程简化为：“嫦娥一号”升空后，首先进入近地圆轨道（其轨道半径近似等于地球半径），运行周期为T1，然后在地面的指令下经过一系列的变轨后最终被月球捕获，在距离月球表面为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．已知地球半径为R1，月球半径为R2，月球质量为M，万有引力常量为G，求：（1）“嫦娥一号”绕月球运动时的周期T2
（2）月球与地球表面的重力加速度之比．
分析 （1）在月球表面，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解“嫦娥一号”绕月球运动时的周期；
（2）在地球表面，卫星受到的重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解地面的重力加速度；
在月球表面，重力等于万有引力，列式求解月球表面的重力加速度．
解答 解：（1）“嫦娥一号”绕月球运动时的轨道半径：r2=R2+h
卫星受到的万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{{r}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$
解得：
${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{（{{R}_{2}+h）}^{3}}{GM}}$
（2）在月球表面，重力等于万有引力，故：
$m{g_月}=G\frac{Mm}{R_2^2}$
对于在地球表面时，有：
$m{g}_{地}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{R}_{1}$
联立解得：
$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}=\frac{4{π}^{2}{R}_{1}{R}_{2}^{2}}{GM{T}_{1}^{2}}$
答：（1）“嫦娥一号”绕月球运动时的周期为$2π\sqrt{\frac{{（{R}_{2}+h）}^{3}}{GM}}$；
（2）月球与地球表面的重力加速度之比为$\frac{4{π}^{2}{R}_{1}{R}_{2}^{2}}{GM{T}_{1}^{2}}$．
点评 本题关键是明确“嫦娥一号”在地面附近和绕月飞行时的动力学原理，利用万有引力等于向心力列式求解，不难．
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