Question

17．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长L=4.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，圆轨道半径R=0.4m，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个m=1kg的小物块以初速度v₀=4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.50 （g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80）求：
（1）小球能够顺利通过圆轨道最高点P的最小速度为多少；
（2）小物块的抛出点和A点的高度差；
（3）小物块滑到竖直圆轨道的底端C点时，物块对轨道的压力为多大．

Answer 1

分析 （1）对小球在P点应用牛顿第二定律求解；
（2）由速度方向及平抛运动规律求得A点的竖直分速度，然后根据平抛运动竖直方向做自由落体运动求得高度；
（3）对AC运动过程应用动能定理求得在C的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）对小球在P点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{P}≥\sqrt{gR}=2m/s$；
（2）小球水平抛出到A的过程做平抛运动，故小球在A点竖直方向的分速度v_y=v₀tan37°=3m/s，
那么由平抛运动竖直方向分运动为自由落体运动可得：小物块的抛出点和A点的高度差$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=0.45m$；
（3）由平抛运动规律及小球在A点的速度方向可知：${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos37°}=5m/s$；
对小球从A到C应用动能定理可得：$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2gL（sin37°-μcos37°）}=\sqrt{41}m/s$；
故对小球在C点应用牛顿第二定律可得：小球受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=112.5N$；
故由牛顿第三定律可得：小物块滑到竖直圆轨道的底端C点时，物块对轨道的压力为112.5N；
答：（1）小球能够顺利通过圆轨道最高点P的最小速度为2m/s；
（2）小物块的抛出点和A点的高度差为0.45m；
（3）小物块滑到竖直圆轨道的底端C点时，物块对轨道的压力为112.5N．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．