Question

19．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力F作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端．已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则关于拉力F的大小和F的做功情况，下列说法正确的是（　　）

• A． 当α=30°时，拉力F最小
• B． 当α=30°时，拉力F做功最小
• C． 当α=60°时，拉力F最小
• D． 当α=60°时，拉力F做功最小

Answer 1

分析 对小球受力分析，根据受力平衡列方程，然后结合数学三角函数知识求F的最小值，解本题的突破口为找到使拉力做功最小的条件，为此要分析小球受到的各个力及做功情况：重力做负功，弹力不做功，拉力F做正功，又因小球做匀速运动，动能的变化为零，那么只要摩擦力不做功（即摩擦力为零），则拉力F做功最小，然后正交分解小球受到的各力，列力的平衡方程解答即可求出答案．

解答 解：小球匀速运动，根据平衡条件，在沿杆方向上有：
Fcosα=mgsin30°+μ（mgcos30°-Fsinα）
整理得：Fcosα+μFsinα=10
F=$\frac{1}{cosα+μsinα}$•mg
由数学知识知当cosα+μsinα最大值为$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
此时arctan$\frac{1}{μ}$=60°  则α=90°-60°=30°，故A正确，C错误；
B、小球匀速运动，由动能定理得；W_F-W_f-W_G=0
     要使拉力做功最小则W_f=0，即摩擦力为0，则支持力为0．
     分析小球受的各力然后正交分解列方程：
     垂直斜面方向：Fsinα=mgcos30°
     沿斜面方向：Fcosα=mgsin30°
     解以上两方程得：α=60°，F=mg，故B错误，D正确；
故选：AD

点评 本题考查了受力分析以及正交分解的应用，关键是熟练结合数学知识求极值．通过分析小球的受力及各力做功情况，再结合动能定理得出拉力F做功最小时摩擦力为零．