Question

18．如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，C点为半圆轨道的最高点，B点为水平面与轨道的切点，在距离B为x的A点，用水平恒力将质量为m的可视为质点的小球从静止开始推到B处后撤去恒力，小球沿半圆轨道运动到C点后又正好落回A点，重力加速度为g，则（　　）

• A． x=2R时，完成上述运动推力所做的功最少，且最少值为W_F=$\frac{5}{2}$mgR
• B． x=4R时，完成上述运动推力所做的功最少，且最少值为W_F=$\frac{5}{4}$mgR
• C． x=2R时，完成上述运动推力所做的功最少，且最小推力为F=$\frac{3}{2}$mg
• D． x=4R时，完成上述运动推力所做的功最少，且最小推力为F=mg

Answer 1

分析 小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，即可得到最小功；根据功与x的关系式，运用数学知识求解力最小时x的值及最小的力．

解答 解：设物体到达C点的速度为v，小球离开C点做平抛运动，则有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt
得：v=x$\sqrt{\frac{g}{4R}}$
对质点从A到C，由动能定理有：
Fx-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则得：Fx=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2mgR+$\frac{mg{x}^{2}}{8R}$
因为 v≥$\sqrt{gR}$，则得 x≥2R，当x=2R时，推力F做的功有极小值，推力做功最少值为：W_F=$\frac{5}{2}$mgR
由F=$\frac{2mgR}{x}$+$\frac{mgx}{8R}$，根据数学知识知，当$\frac{2mgR}{x}$=$\frac{mgx}{8R}$，即x=4R时，F有极小值，F的最小值为：F=mg，故AD正确．
故选：AD

点评 本题要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为$\sqrt{gR}$，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值．