题目内容
14．
一半径为R的圆筒的横截面如图所示，其圆心为O．筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，M、N板接在如图所示的电路中，电源内阻为r0，定值电阻阻值为R1．当滑动变阻器R连入电路的电阻为0．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S沿半径SO方向射入磁场中，粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，（1）求M、N间电场强度E的大小和电源电动势E0的大小；
（2）保持M、N的距离不变，移动滑动变阻器的滑片，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子进入圆筒与圆筒发生多次碰撞转一周后仍从S孔射出，求滑动变阻器连入电路的电阻R0应满足的关系．
分析 （1）作出粒子在磁场中的运动轨迹，由几何知识求出粒子转过的圆心角与粒子做圆周运动的轨道半径，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的速度；粒子在电场中加速，由动能定理可以求出极板间的电场强度，然后由欧姆定律求出电源的电动势．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动、在极板间加速，根据题意求出粒子的轨道半径，然后求出滑动变阻器接入电路的阻值．
解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心O′，圆半径为r，
设第一次碰撞点为A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S孔射出，因此SA弧所对圆心角：$∠AOS=\frac{2π}{3}$．
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系得：$r=Rtan\frac{π}{3}$，
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$v=\frac{{\sqrt{3}qBR}}{m}$
粒子在电场中加速，由动能定理得：$qEd=\frac{1}{2}m{v^2}$-0，解得：$E=\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{2md}$，
由闭合电路欧姆定律得：E0=$\frac{Ed}{R_1}（{{R_1}+{r_0}}）$=$\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{{2m{R_1}}}（{{R_1}+{r_0}}）$；
（2）保持M、N的距离不变，移动滑动变阻器的滑片，设粒子与圆筒发生n次碰撞后仍从S孔射出，
板间电压为Un，则：${U_n}=\frac{{q{B^2}r_n^2}}{2m}$，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：${r_n}=Rtan\frac{π}{n+1}$（n=2，3，4…），
极板间电压：${U_n}=\frac{E_0}{{{R_1}+{R_0}+{r_0}}}{R_1}$，解得：${R_0}=（{{R_1}+{r_0}}）（{3co{t^2}\frac{π}{n+1}-1}）$（n=2，3，4…）；
答：（1）M、N间电场强度E的大小为$\frac{3q{B}^{2}{R}^{2}}{2md}$，电源电动势E0的大小为$\frac{{3q{B^2}{R^2}}}{{2m{R_1}}}（{{R_1}+{r_0}}）$；
（2）滑动变阻器连入电路的电阻R0应满足的关系为：${R_0}=（{{R_1}+{r_0}}）（{3co{t^2}\frac{π}{n+1}-1}）$（n=2，3，4…）．
点评 本题考查了粒子在电场、磁场中的运动，是一道综合题，分析清楚粒子运动过程、应用牛顿第二定律、欧姆定律、动能定理即可正确解题，解题时作出粒子的运动轨迹、注意几何知识的应用．
发散思维新课堂系列答案
（1）在“验证机械能守恒定律”实验中，打出的纸带如图所示．设重锤质量为m、交流电周期为T，则打点4时重锤的动能可以表示为$\frac{{m{（h}_{5}{-h}_{3}）}^{2}}{{8T}^{2}}$．（用T．m和h1h2h3h4h5表示）
如图所示，质量为M的三角形木块A静止在水平面上，其左右两斜面光滑．一质量为m的物体B沿倾角α=30°的右侧斜面加速下滑时，三角形木块A刚好保持静止．则当物块B沿倾角β=60°的左侧斜面下滑时，下列说法中正确的是（ ）| A． | A仍然静止不动，地面对A的摩擦力两种情况下等大 | |
| B． | 若α=45°角，物块沿右侧斜面下滑时，A将不会滑动 | |
| C． | A将向右滑动，若使A仍然静止需对施加向左侧的作用力 | |
| D． | A仍然静止不动，对地面的压力比沿右侧下滑时对地面的压力小 |
| A． | 核反应方程${\;}_{92}^{238}$U→${\;}_{90}^{234}$Th+${\;}_{2}^{4}$He为重核裂变，反应过程中会释放能量 | |
| B． | 图是反映铀核衰变的特性曲线，由图可知，经过4860年，铀经历了3个半衰期 | |
| C． | 原子核内部某个质子转变为中子时，放出β射线 | |
| D． | 用能量等于氘核结合能的光子照射静止的氘核，不可能使氘核分解为一个质子和一个中子 |
| A． | 副线圈输出电压u的频率为5Hz | |
| B． | t=0.01s时，副线圈输出电压u为22$\sqrt{2}$V | |
| C． | 抽出L中的铁芯，D变亮 | |
| D． | 有光照射R时，A的示数变大，V的示数不变 |
某汽车训练场地有如图设计，在平直的道路上，依次有编号为A、B、C、D、E的五根标志杆，相邻杆之间的距离△L=12.0m．一次训练中，学员驾驶汽车以57.6km/h的速度匀速向标志杆驶来，教练与学员坐在同排观察并记录时间．当教练经过O点时向学员发出指令：“立即刹车”，同时用秒表开始计时．忽略反应时间，刹车后汽车做匀减速直线运动，停在D标杆附近．教练记录自己经过C杆时秒表的读数为tC=6.0s，已知LOA=36m，教练距车头的距离△s=1.5m．求：
如图所示，质量为m=0.10kg的小物块以水平初速度v0冲上粗糙的水平桌面向右做匀减速直线运动，滑行距离l=1.4m后以速度v=3.0m/s飞离桌面，最终落在水平地面上．物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，桌面高h=0.45m．不计空气阻力，重力加速度取10m/s2．求
如图所示，一列简谐波在均匀介质中传播，图甲表示t=0时刻的波形图，图乙表示图甲中质点D从t=0时刻开始的振动图象，试求：