Question

7．如图所示，轨道倪a、b、c在同一竖直平面内，其中a是末端水平（可看做与D重合）的光滑圆弧轨道，b是半径为r=2m的光滑半圆形轨道且直径DF沿竖直方向，水平轨道c上静止放置着相距l=1.0m的物块B和C，B位于F处，现将滑块A从轨道a以上距D点高为H的位置由静止释放，滑块A经D处水平进入轨道b后能沿轨道（内轨）运动，到达F处与物块B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑动，并再与C发生正碰．已知A、B、C质量分别为m、m、km，均可看做质点，物块与轨道C的动摩擦因数μ=0.45．（设碰撞时间很短，g取10m/s²）
（1）求H的最小值和H取最小值时，AB整体与C碰撞前瞬间的速度；
（2）若在满足（1）的条件下，碰后瞬间C的速度=2.0m/s，请根据AB整体与C的碰撞过程分析k的取值，并讨论与C碰撞后AB的可能运动方向．

Answer 1

分析 （1）要使滑块A能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，结合滑块A沿a轨道下滑过程中机械能守恒列式求解H的最小值．AB碰撞过程，由动量守恒定律求得碰后共同速度，再由动能定理求得AB整体与C碰撞前瞬间的速度；
（2）分AB整体与C发生非弹性碰撞和弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律结合求k的值．

解答 解：（1）滑块A从轨道a下滑到达D点的过程中，由机械能守恒定律得：
   mgH=$\frac{1}{2}$mv_D²，
要使滑块A能沿竖直平面内光滑半圆轨道b内侧做圆周运动，在D点应满足：
  mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，
联立并代入数据解得 H≥1m
所以H的最小值为1m．
滑块A从a轨道上H=1m处下滑到达F点的过程，由机械能守恒定律得
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得，滑块经过F点的速度 v₀=10m/s
A、B碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv₀=2mv₁．
设AB整体与C碰撞前瞬间的速度为v₂．由动能定理得
-μ•2mgl=$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
联立以上各式解得 v₂=4m/s
（2）若AB整体与C发生非弹性碰撞，由动量守恒定律得
   2mv₂=（2m+km）v
代入数据解得 k=2
此时AB整体的运动方向与C相同．
若AB整体与C发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得
   2mv₂=2mv₃+kmv
   $\frac{1}{2}$×2mv₂²=$\frac{1}{2}$×2mv₃²+$\frac{1}{2}$kmv²
解得 v₃=$\frac{2-k}{2+k}$v₂，v=$\frac{4}{4+k}$v₂
代入数据解得 k=6
此时AB整体的运动方向与C相反．
若AB整体与C发生碰撞后AB整体速度为0，由动量守恒定律得
   2mv₂=kmv
解得 k=4
综上所述，当2≤k＜4时，AB整体的运动方向与C相同．
当k=4时，AB整体的速度为0．
当4＜k≤6时，AB整体的运动方向与C相反．
答：
（1）H的最小值是1m，H取最小值时，AB整体与C碰撞前瞬间的速度是$\sqrt{5}$m/s．
（2）当2≤k＜4时，AB整体的运动方向与C相同．当k=4时，AB整体的速度为0．当4＜k≤6时，AB整体的运动方向与C相反．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚小球运动过程、应用机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意小球做圆周运动临界条件的应用．