Question

13．如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道如图放置，三点POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道，质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为F_N，g为重力加速度的大小，用W表示质点从P运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，若质点恰好能到达Q点，则（　　）

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，F_N=4mg
• B． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F_N＜4mg
• C． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F_N＞4mg
• D． W＜$\frac{1}{2}$mgR，F_N＞4mg

Answer 1

分析 对全过程根据动能定理求出在整个轨道上克服摩擦力做的功，根据抓住NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功，即可得质点从P运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功W的大小范围；从释放到N点由动能定理列式结合N点的向心力方程，可求出在N点时对轨道的压力为F_N

解答 解：从释放点到Q点，根据动能定理得：$mgR-{W}_{克f}^{\;}=0-0$
解得：${W}_{克f}^{\;}=mgR$
质点运动过程半径方向的合力提供向心力即${F}_{N}^{\;}-mgsinθ=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，根据左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功导致右半幅的速度小，轨道弹力变小，滑动摩擦力$f=μ{F}_{N}^{\;}$变小，所以摩擦力做功变小，所以在轨道的左半幅克服摩擦力做功$W＞\frac{1}{2}mgR$
从释放点到N点根据动能定理，有
$mg•2R-W=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-0$
得${v}_{N}^{\;}＜\sqrt{3gR}$
最低点N点：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}＜4mg$，故B正确，ACD错误；
故选：B

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道在最低点，靠重力和支持力的合力提供向心力，注意在NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功．