Question

11．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后的12小时内有t₁时间该观察者看不见此卫星．已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，卫星的绕行方向与地球转动方向相同，不考虑大气对光的折射．下列说法中正确的是（　　）

• A． 同步卫星离地高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}}}$
• B． 同步卫星离地高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
• C． t₁=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$
• D． t₁=$\frac{T}{2π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$

Answer 1

分析 同步卫星绕地球做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，其向心力用周期表示，结合“黄金代换”求出同步卫星的轨道半径，再利用几何关系确定太阳照不到同步卫星的范围，那么，即可求出看不到卫星的时间．

解答 解：A、设地球同步卫星的轨道半径为r，其受到的地球万有引力提供向心力，即：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
对地面上的物体万有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
由以上两式可得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以同步卫星离地高度为h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．故A错误，B正确；
C、根据光的直线传播规律，日落12小时内有t₁时间该观察者看不见此卫星图示如图所示，

同步卫星相对地心转过角度为θ=2α，sinα=$\frac{R}{r}$，
结合θ=ωt=$\frac{2π}{T}$t，
解得：t₁=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$，故C正确，D错误；
故选：BC

点评 解决天体问题把握两条思路：一是万有引力提供向心力，二是重力等于万有引力．针对本题关键还要分析好几何关系来求解．