Question

15．如图所示，一质量为m=0.1kg的小物块（可视为质点），以v0=18m/s的初速度滑上水平轨道PQ，在Q点恰好沿半圆轨道的切线进入竖直固定的光滑半圆形轨道，最后滑上质量为M=0.9kg的长木板上（木板足够长），已知轨道PQ长为1m，竖直固定的半圆形轨道半径R=1m，物块与水平轨道PQ的动摩擦因数为0.15，物块与木板间的动摩擦因数为0.2，木板与地面间的动摩擦因数为0.01，取g=10m/s²
（1）判断物块经过Q点后能否沿半圆形轨道运动
（2）求木板滑行的最大距离．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得物块在PQ上运动的加速度，根据运动学公式求得进入轨道的速度，在Q点根据牛顿第二定律求得对轨道的压力，只要压力大于等于0就能沿轨道运动，否则不能．
（2）根据机械能守恒求出滑上木板的速度，根据牛顿第二定律求出滑上木板的加速度，再根据运动学公式求出位移．

解答 解：（1）物块在PQ上运动的加速度为：
a₁=-?₁g=-1.5m/s² 
进入圆周轨道时的速度为v，则有：
v²-v₀²=2a₁l 
得：v²=v₀²+2a₁l=321 m²/s²
设物块刚离开Q点时，圆轨道对物块的压力为F_N，根据牛顿定律，有：
F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$-mg=31.1N＞0
故物块能沿圆周轨道运动
（2）物块滑上木板时的速度为v₁，根据机械能守恒有：
$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₁²
得：v₁=19m/s
物块滑上木板时的加速度为a₂，根据牛顿第二定律有：
a₂=-?₂g=-2m/s²
木板的加速度位a₃，则有：?₂mg-?₃（m+M）g=Ma₃
${a}_{3}=\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{3}（M+m）g}{M}=\frac{1}{9}$m/s²
设物块滑上木板经过时间t二者共速，
v₁+a₂t=a₃t  
得：t=9s
这时木板的位移为：s₁=$\frac{1}{2}$a₃t²=4.5m
它们的共同速度为：v₂=a₃t=1m/s
物块和木板一起减速的加速度为：a₄=-?₃g=-0.1m/s²
它们减速运动的位移为：s₂=$\frac{-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{4}}$=5m
x=s₁+s₂=4.5+5=9.5m 
答：（1）物块能沿圆周轨道运动；
（2）木板滑行的最大距离x为9.5m．

点评 此题要求能熟练运用牛顿第二定律分析解决问题，同时要能熟练掌握匀变速运动的各种公式，此题对过程分析要求较高，属于中档题．