Question

20．在如图所示的xoy直角坐标系内，x轴上方有沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方有垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的粒子，t=0时刻从y轴上的A（0，h）点以初速度v₀沿x轴正向射出，粒子经过x轴上的B（2h，0）点进入磁场，恰从原点O第一次射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）电场强度E和磁感应强度B的大小；
（2）带电粒子从A（0，h）点第一次运动到距x轴上方最大距离处的时间；
（3）粒子带n次射出磁场时的横坐标值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据水平位移和初速度求出运动的时间，根据牛顿第二定律和位移时间公式求出电场强度的大小．根据粒子的速度方向，结合半径公式和几何关系求出磁感应强度的大小．
（2）粒子出磁场后运动到离x轴最大距离处时竖直速度为零，看作反向的平抛运动，根据周期公式求出粒子在磁场中运动的时间，以及粒子在电场中做类平抛运动的时间，从而得出总时间．
（3）粒子在电场和磁场空间做周期性运动，一个周期沿x轴正向前进，根据几何关系，结合粒子在磁场中运动的半径求出粒子带n次射出磁场时的横坐标值．

解答 解：（1）粒子在电场中运动，水平方向有：2h=v₀t₁，竖直方向有：h=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
由牛顿第二定律得，E=$\frac{ma}{q}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$，
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，进入时速度大小为v，v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，
h=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$，
入射时与x轴正向成夹角为α，tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，故$α=\frac{π}{4}$．
设圆周运动半径为R，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由几何关系得，$\sqrt{2}R=2h$，解得B=$\frac{m{v}_{0}}{qh}$．
（2）在磁场中运动的时间为t₂，${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}$，
由题意可知粒子出磁场后运动到离x轴最大距离处时竖直速度为零，看作反向的平抛运动，离开磁场到最高点所用时间${t}_{3}={t}_{1}=\frac{2h}{{v}_{0}}$．
带电粒子经时间t第一次运动到距x轴的距离最大，
t=${t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（4+\frac{3π}{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$．
（3）粒子在电场和磁场空间做周期性运动，一个周期沿x轴正向前进，
△x=OB=2h，
粒子第1次离开磁场时位置坐标为（0，0）
粒子第n次离开磁场时横坐标为x_n=（n-1）△x=2（n-1）h，（n=1、2、3…）
答：（1）电场强度的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qh}$，磁感应强度的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qh}$．
（2）带电粒子从A（0，h）点第一次运动到距x轴上方最大距离处的时间为$（4+\frac{3π}{2}）\frac{h}{{v}_{0}}$．
（3）粒子带n次射出磁场时的横坐标值为2（n-1）h，（n=1、2、3…）

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，应用类平抛运动知识、牛顿第二定律、几何知识即可正确解题．