题目内容
10．牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围．这里的v2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2km/s．法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它．由于这个原因，宇宙中有些天体将不会被我们看见．”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”．已知对任何密度均匀的球形天体，v2恒为v1的$\sqrt{2}$倍，万有引力恒量为G，地球的半径约为6400km，太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108m/s．请根据牛顿理论求：（1）求质量为M、半径为R的星体逃离速度v2的大小；
（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为多少？
（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见？
分析 （1）当物体绕星球表面附近做匀速圆周运动时，由星球的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求出v1．星体逃离速度v2的大小等于$\sqrt{2}$v1．
（2）根据黑洞与地球的质量关系，得到黑洞的逃离速度表达式，在黑洞表面脱离的速度应大于光速．即可求出黑洞的半径．
（3）根据直径与密度关系，求出恒星的逃离速度，若此速度大于光速，我们将看不见该恒星．
解答 解：（1）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v1=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
由题得：星体逃离速度v2=$\sqrt{2}$v1=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
（2）题中M黑洞=10M地球
地球和黑洞的脱离速度分别为：
对地球：v2地球=$\sqrt{\frac{2G{M}_{地球}}{{R}_{地球}}}$；
对黑洞：v2黑洞=$\sqrt{\frac{2G{M}_{黑洞}}{{R}_{黑洞}}}$＞c（c为光速）
两式相比得：$\sqrt{\frac{{M}_{黑洞}{R}_{地球}}{{M}_{地球}{R}_{黑洞}}}$=$\sqrt{\frac{10{R}_{地球}}{10R黑洞}}$=$\frac{{v}_{2黑洞}}{{v}_{2地球}}$≥$\frac{c}{{v}_{2地球}}$
得 R黑洞≤$\frac{10{R}_{地球}{v}_{2地球}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{10×6400×1{0}^{3}×（11.2×1{0}^{3}）^{2}}{（3×1{0}^{8}）^{2}}$m=0.089m
（3）已知R恒星=248×109 R地球，M恒星=（248×109）3M地球（密度相同）
v2恒星=11.2×103×248×109 m/s=3.028×108 m/s＞c，所以该恒星不能被我们看见．
答：
（1）质量为M、半径为R的星体逃离速度v2的大小为$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$；
（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为0.089m．
（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，通过计算分析可知，该恒星不能被我们看见．
点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．
| A． | $\frac{{m{v^2}}}{18}$ | B． | $\frac{{m{v^2}}}{9}$ | C． | $\frac{{m{v^2}}}{6}$ | D． | $\frac{{m{v^2}}}{3}$ |
如图所示，质量为M的支座上有一水平细轴，轴上套有一长为L的细绳，绳的另一端拴一质量为m可视为质点的小球．让小球在竖直面内做圆周运动．小球运动到最高点时底座对地面的压力恰仔为零．忽略一切阻力．运动过程中底座始终保持静止，重力加速度为g．则（ ）| A． | 运动过程中小球的最小速度为$\sqrt{\frac{MgL}{m}}$ | |
| B． | 运动过程中绳的最大拉力为6mg+Mg | |
| C． | 运动过程中小球的最大瞬时角速度为$\sqrt{\frac{（M+m）g}{mL}+\frac{2g}{L}}$ | |
| D． | 当绳处于水平时地面对底座的摩擦力为Mg+2mg |
| A． | A的速率比B大 | B． | A的角速度比B小 | ||
| C． | A的向心加速度比B小 | D． | A的运行周期比B大 |
| A． | 甲比乙先着地 | B． | 甲、乙同时着地 | C． | 乙的速度比甲大 | D． | 甲的速度比乙大 |
据报道，一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示．假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同．则在最初演变的过程中（ ）| A． | 它们做圆周运动的万有引力保持不变 | |
| B． | 它们做圆周运动的角速度不断变小 | |
| C． | 体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大 | |
| D． | 体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变小，线速度变大 |
某学习小组为了研究标有“2.5V 0.3A”字样小灯泡的伏安特性曲线，到实验室找到了下列器材：