Question

5．在某一星球上做火箭发射实验，火箭始终在垂直星球表面的方向上运动，火箭点火后经过4s熄灭，测得上升的最大高度为80m，若大气阻力和燃料质量不计，且已知该星球的半径为地球的$\frac{1}{2}$，质量为地球的$\frac{1}{8}$，地球表面的重力加速度g₀取10m/s²．
（1）该星表在的重力加速度g；
（2）火箭点火后加速上升时加速度a的大小；
（3）火箭在该星球上受到的平均推力与其所受引力大小的比值．

Answer 1

分析 （1）根据黄金代换式，结合星球和地球的质量比和半径之比求出重力加速度之比，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据位移时间公式和速度位移公式，抓住总位移等于80m，求出火箭点火后加速上升的加速度大小．
（3）根据牛顿第二定律求出平均推力的大小，从而得出平均推力和所受引力的大小之比．

解答 解：（1）根据黄金代换式有：${g}_{0}{{R}_{0}}^{2}=G{M}_{0}$，gR²=GM，
解得：g=$\frac{M{{R}_{0}}^{2}}{{M}_{0}{R}^{2}}{g}_{0}=\frac{1}{8}×4×{g}_{0}=\frac{1}{2}{g}_{0}=5m/{s}^{2}$．
（2）加速上升阶段有：${h}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，减速上升阶段有：${h}_{2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2g}=\frac{（at）^{2}}{2g}$，
又h₁+h₂=80m，
代入数据解得：a=5m/s²．
（3）由牛顿第二定律有：F-mg=ma，
解得：F=mg+ma=2mg，
则有：$\frac{F}{mg}=2$．
答：（1）该星表在的重力加速度g为5m/s²；
（2）火箭点火后加速上升时加速度a的大小为5m/s²；
（3）火箭在该星球上受到的平均推力与其所受引力大小的比值2．

点评 本题考查了牛顿第二定律、运动学公式和万有引力定律的综合运用，通过黄金代换式求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键．