Question

9．如图，一内壁光滑的圆锥面，顶点O在下方，锥角为2α，OO′是竖直轴线，若有两个相同的小珠（均视为质点）在圆锥的内壁上沿不同的圆轨道运动，则（　　）

• A． 它们的向心力之比等于半径之比
• B． 它们的周期之比等于半径之比
• C． 它们的动能之比等于半径之比
• D． 设O点为势能零点，它们的动能之比等于重力势能之比

Answer 1

分析 对小珠受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解向心力、周期之比，根据动能和重力势能的表达式结合几何关系求解．

解答 解：A、以任意小珠为研究对象，对小球受力分析，小珠受力如图所示：
由牛顿第二定律得：F_向=mgcotα=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=$m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，可知它们的向心力大小相等，故A错误．
B、周期$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}r}{gcotα}}$，所以它们的周期之比等于$\sqrt{r}$之比，故B错误；
C、动能${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mgrcotα$，则它们的动能之比等于半径之比，故C正确；
D、动能${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mgrcotα$，势能：mgrcotα，故动能与势能之比为定值，所以它们的动能之比等于重力势能之比，故D正确．
故选：CD．

点评 本题关键是对小珠受力分析，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析，注意要表示重力势能，必须要规定零势能面，难度适中．