Question

2．如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置．质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v₀=3$\sqrt{{gx}_{0}sinθ}$顶端P点沿斜面向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回．物块A离开弹簧后，恰好回到P点．已知OP的距离为x₀块A与斜面间的动摩擦因数为μ=2tanθ，斜面倾角为θ，重力加速度为g求：
（1）O点和O′点间的距离x₁
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）在轻弹簧旁边并排放置另一根与之完全相同的弹簧，一端与挡板固定．若将另一个与A材料相同的物块B（可视为质点）与两根弹簧右端拴接，设B的质量为βm将A与B并排在一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后A最终未冲出斜面，求β需满足的条件？

Answer 1

分析 （1）对于物块从P点又回到P点过程，运用动能定理列式，即可求得O点和O′点间的距离x₁；
（2）根据能量守恒定律求解弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）AB刚分离时两者间的弹力为零，根据牛顿第二定律分别求出两者此时的加速度，确定出弹簧此时的状态．再对分离后的过程，由能量守恒列式求解．

解答 解：（1）物块A从P点又回到P点的过程，根据动能定理有：
-2μmgcosθ（x₁+x₀）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 μ=2tanθ，v₀=3$\sqrt{{gx}_{0}sinθ}$
解得：x₁=$\frac{1}{8}{x}_{0}$
（2）从O′点到P点，由能量守恒定律得：
弹簧在最低点O′处的弹性势能   E_P=μmgcosθ（x₁+x₀）+mgsinθ（x₁+x₀）
=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$+mgsinθ•$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μgcosθ}$=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$（1+$\frac{tanθ}{μ}$）=$\frac{27}{8}$mgx₀sinθ
（3）分离时：a_A=a_B，N_AB=0，
A：a_A=gsinθ+μgcosθ
B：2T+βmgsinθ+μβmgcosθ=βma_B
得：T=0，即弹簧处于原长处，A、B两物体分离．
①A、B恰好分离时，分离时A、B速度为零，从O′点到O点有：
  2E_P=μ（β+1）mgcosθx₁+（β+1）mgsinθx₁； 
得 β=17
②若A恰好回到P点，则有：
   2E_P=μ（β+1）mgcosθx₁+（β+1）mgsinθx₁+$\frac{1}{2}$（β+1）mv²； 
分离后，A继续上升到静止，有：
   $\frac{1}{2}$mv²=（mgsinθ+μmgcosθ）x₀；
解得：β=1
综上所述有：1≤β≤17
答：
（1）O点和O′点间的距离x₁为$\frac{1}{8}$x₀；
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能为$\frac{27}{8}$mgx₀sinθ；
（3）β需满足的条件是1≤β≤17．

点评 运用动能定理解题，关键选择合适的研究过程，分析过程中有哪些力做功，确定能量如何转化，然后根据动能定理和能量守恒结合解答．