Question

3．如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ=30°，导轨间距为l=40cm，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为0.5T，方向垂直于轨道平面向上．如图所示，将甲、乙两阻值相同，质量均为m=0.01kg的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲、乙相距l．从静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，且加速度大小a=5m/s²，乙金属杆进入磁场时恰好做匀速运动．（g=10m/s²）
（1）求乙金属杆刚进入磁场瞬间，甲、乙之间的距离x；以及甲、乙的电阻R为多少？
（2）先判断F的方向，再写出甲在磁场运动过程中外力F随时间t的变化关系式．（从释放金属杆时开始计时）
（3）若从开始释放两杆到乙金属杆刚离开磁场的过程中，乙金属杆上共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲金属杆所做的功．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

Answer 1

分析 （1）根据题意得到甲乙加速度相同，都是5m/s²，当乙进入磁场时，甲刚出磁场，由运动学公式求出乙进入磁场时的速度，乙金属杆刚进入磁场时作匀速运动，根据安培力的公式和平衡条件可求出甲乙的电阻R．
（2）甲在磁场中运动做匀加速运动，由速度公式得到速度与时间的关系式，根据牛顿第二定律求解外力F随时间t的变化关系．
（3）乙进入磁场前，甲乙发出相同热量．甲一直在磁场中时，外力F始终等于安培力，克服安培力做功等于甲乙产生的总热量；乙在磁场中运动时，根据动能定理求出乙放出的热量，即可求出甲乙发出的热量，再求出外力做功．

解答 解：（1）在乙尚未进入磁场中的过程中，甲、乙的加速度相同，
因它们同时释放，则它们会相对静止，
当乙金属杆刚进入磁场瞬间，甲、乙之间的距离x=l=0.4m；
设乙刚进入磁场时的速度为v，
 依据 v²=2ax   且 a=gsinθ
        即  v=$\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{2×10×0.4×0.5}$=2m/s；
乙刚进入磁场时，对乙由根据平衡条件得mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
R_乙=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$=$\frac{0．{5}^{2}×0．{4}^{2}×2}{2×0.01×10×0.5}$=0.8Ω；
 那么R_甲=0.8Ω；
（2）甲在磁场中运动时，由牛顿第二定律可知，外力F大小始终等于安培力大小即：F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$ 
而v=（gsinθ）t
      解得 F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}$t=$\frac{0.01×1{0}^{2}×0．{5}^{2}}{2}t$=0.125t²；
 外力方向沿导轨平面并垂直金属杆甲向下，
（3）设乙从释放到刚进入磁场过程中做匀加速直线运动所需要的时间为t₁
         l=$\frac{1}{2}$（gsinθ）${t}_{1}^{2}$
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$=$\frac{l}{gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
设乙从进入磁场过程至刚离开磁场的过程中做匀速直线运动所需要的时间为t₂；
           l=vt₂；
      解得：t₂=$\frac{l}{\sqrt{2glsinθ}}$=$\frac{l}{2gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
设乙离开磁场时，甲的速度v′
v′=（gsinθ）（t₁+t₂）=$\frac{3}{2}\sqrt{2glsinθ}$
设甲从开始释放至乙离开磁场的过程中的位移为x    
      x=$\frac{1}{2}$（gsinθ）（t₁+t₂）²=$\frac{9}{4}$l 
根据能量转化和守恒定律得：mgxsinθ+mg•2lsinθ+W_F=2Q+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$mv′²
          W_F=2Q-mglsinθ．
答：（1）乙金属杆刚进入磁场瞬间，甲、乙之间的距离0.4m；以及甲、乙的电阻R均为0.8Ω；
（2）外力F的方向沿导轨平面并垂直金属杆甲向下，
甲在磁场运动过程中外力F随时间t的变化关系式F=0.125t²．（从释放金属杆时开始计时）
（3）若从开始释放两杆到乙金属杆刚离开磁场的过程中，乙金属杆上共产生热量Q，此过程中外力F对甲金属杆所做的功2Q-mglsinθ．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

点评 本题是复杂的电磁感应现象，是电磁感应与力学知识的综合，分析导体棒的运动情况，要抓住甲匀加速运动的过程中，外力与安培力大小相等．分别从力和能量两个角度进行研究．