Question

14．如图，用绳子系住水杯杯在竖直平面内做圆周运动的“水流星”表演，水的质量m=1kg，水的重心到转轴的距离l=100cm，g取10m/s²．
（1）若在最高点水不流出来，求水杯的最小速率？
（2）若在最高点水杯的速率v=4m/s，求水对杯底的压力？

Answer 1

分析 （1）水桶运动到最高点时，水不流出恰好不流出时由水受到的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求解最小速率；
（2）水在最高点速率v=4m/s时，以水为研究对象，分析受力情况：重力和桶底的弹力，其合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律求解此弹力，再牛顿第三定律，水对杯底的压力大小．

解答 解：（1）以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来时，由水的重力提供其做圆周运动所需的向心力，此时水杯的速率最小．
此时有：mg=m$\frac{{v}_{min}^{2}}{l}$
则所求的最小速率为：v_min=$\sqrt{gl}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）设桶运动到最高点对水的弹力为F，则水受到重力和弹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
 mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：F=m（$\frac{{v}^{2}}{l}$-g）=1×（$\frac{{4}^{2}}{1}$-10）N=6N
根据牛顿第三定律，水对桶的压力大小：F′=F=6N
答：（1）若水桶转至最高点时水不流出来，水杯的最小速率为$\sqrt{10}$m/s；
（2）若在最高点时水桶的速率 v=4m/s，水对水杯底的压力大小为6N．

点评 本题应用牛顿第二定律破解水流星节目成功的奥秘，关键在于分析受力情况，确定向心力的来源．