Question

17．在某质量分布均匀的星球表面上，宇航员站在一斜坡上的P点，沿水平方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q上，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，已知球的体积公式是V=$\frac{4}{3}$πR³，求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据小球的平抛运动求出星球表面的重力加速度．
（2）根据密度公式求得星球的密度；
（3）星球的第一宇宙速度即为近地轨道圆周运动的线速度，根据重力与万有引力相等知，近地轨道运动重力提供圆周运动向心力求解即可．

解答 解：（1）小球在斜面上平抛并落在斜面上知，小球平抛的位移与水平方向夹角为θ，根据平抛知识知：
小球在水平方向做匀速直线运动，位移为：x=v₀t
小球在竖直方向做自由落体运动，位移为：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由题意有：tan$θ=\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
由此可得星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$
（2）对应星球表面的物体m，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
又：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以星球的密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πGRt}$
（3）星球表面的卫星圆周运动时重力提供圆周运动向心力有：
mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以星球的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}}R$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$；（2）该星球的密度是$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πGRt}$；（3）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanθ}{t}}$．

点评 本题关键是抓住能从斜面上平抛落到斜面上得到平抛物体位移的关系，这是正确解题的关键，知道第一宇宙速度是近地卫星的运行速率，由重力提供圆周运动向心力．