Question

17．如图所示，光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，半径R=1m，对应的圆心角θ=106°，两端B、D的连线水平，现将质量m=1Kg的物体（可视为质点）从距BD竖直高度h=0.8m的A点水平抛出，物体恰能从B点沿圆弧切线进入固定轨道（不计空气阻力，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6），求：
（1）物体由A点运动到B点的时间；
（2）物体运动到轨道最低点C时，轨道对物体的支持力大小；
（3）以A点为坐标原点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴，在轨道平面内建立坐标系，多次改变抛出点的位置将物体水平抛出，使物体每次均恰好从B点沿圆弧切线进入固定轨道，求出这些抛出点的坐标所满足的方程．

Answer 1

分析 （1）物体由A点运动到B点做的是平抛运动，根据高度h求时间．
（2）由时间求出物体经过B点时的竖直分速度，由速度的分解法得到初速度和B点的速度，根据机械能守恒定律列式求解出最低点C的速度，再根据重力和支持力的合力提供向心力列式求解支持力．
（3）由y求出物体落在B时的竖直分速度表达式，根据通过B点时竖直分速度和水平分速度的关系列式，求解即可．

解答 解：（1）物体由A点运动到B点做的是平抛运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得
  t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$s=0.4s
（2）物体经过B点的竖直分速度：v_y=gt=4m/s
由题知物体运动到B点时的速度方向与水平方向成53°，可得水平速度即物块离开A点的初速度为：v_A=v_ycot53°=3m/s
从A运动到C的过程，由机械能守恒定律得
  mg[h+R（1-cos53°）]=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得
  N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得 N=43N
（3）设A点初速度为v₀，B点竖直速度为v_y，物块在B点速度恰好沿切线方向，则v与水平方向的夹角为53°
由A到B做平抛运动，则：y=$\frac{1}{2}$gt²，x=v₀t，
对B点速度v做竖直和水平方向分解，有：v_y=gt，
且 tan53°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{\frac{x}{t}}$=$\frac{g{t}^{2}}{x}$=$\frac{2y}{x}$
则得 y=$\frac{2}{3}$x
答：
（1）物体由A点运动到B点的时间是0.4s；
（2）物体运动到轨道最低点C时，轨道对物体的支持力大小是43N；
（3）这些抛出点的坐标所满足的方程是y=$\frac{2}{3}$x．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动情况，抓住隐含的条件，运用运动的分解法研究平抛运动．