Question

如图所示，一小球从斜轨道的某高度处自由滑下，然后沿竖直圆轨道的内侧运动．已知圆轨道的半径为R，重力加速度为g．如果忽略阻力，要使小球能够通过圆轨道的最高点，且轨道对小球的压力不超过小球重力的3倍，小球的初位置相对于圆形轨道底部的高度H的取值范围是多大？

Answer 1

分析：使小球能够通过圆轨道最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，由机械能守恒可以求得高度H的最小值．当轨道对小球的压力为小球重力的3倍时，由牛顿第二定律和机械能守恒结合，求出H的最大值，即可得解．

解答：解：设质量为m的小球恰能通过圆轨道最高点时，此时速度为v₁，初位置相对于圆轨道最低部的高度为H₁，由机械能守恒定律得：
  mgH₁=2mgR+

1

2

m

v

2 1

小球在最高点受重力mg，轨道的压力为N，重力与压力的合力提供向心力，有：
  mg+N=m

v 2 1

R

小球恰能通过圆轨道最高点的条件是 N=0
解得：H=

5

2

R
轨道对小球的压力不超过小球重力的3倍时，此时速度为v₂，初位置相对于圆轨道最低部的高度为H₂，由机械能守恒定律得：
  mgH₂=2mgR+

1

2

m

v

2 2

  mg+N=m

v 2 2

R

按题的要求，N≤3mg
解得：H≤4R
小球的初位置相对于圆形轨道底部的高度H的取值范围是：

5

2

R≤H≤4R．
答：小球的初位置相对于圆形轨道底部的高度H的取值范围是：

5

2

R≤H≤4R．

点评：本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．