Question

5．跳台滑雪是勇敢者的运动．如图所示，滑雪者着专用滑雪板，在助滑道AB上获得一定速度后从B点沿水平方向跃出，在空中飞行一段时间后着落，这项运动极 为壮观．已知滑雪者和滑雪板的总质量为m，斜坡BC倾角为θ，B点距水平地面CD的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力．
（1）若滑雪者水平跃出后直接落到地面上，求滑雪者在空中运动的时间t₀．
（2）为使滑雪者跃出后直接落到地面上，滑雪者在B点跃出时的速度v_o应满足什么条件？
（3）若滑雪者跃出后直接落到斜坡上，试推导滑雪者和滑雪板落到斜坡时的总动能E_k随空中运动时间t的变化关系．

Answer 1

分析 （1）根据高度求出平抛运动的时间．
（2）根据水平位移和时间求出平抛运动的初速度满足的条件．
（3）滑雪者落在斜坡上，结合竖直位移和水平位移的关系，求出运动的时间，从而得出竖直分速度，结合平行四边形定则得出速度的大小，从而得出动能的表达式．

解答 解：（1）滑雪者在空中作平抛运动，则h=$\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$，
解得${t}_{0}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（2）为使滑雪者跃出后直接落到地面上，则平抛运动的水平距离应满足
$x≥\frac{h}{tanθ}$，
则x=v₀t₀，
解得${v}_{0}≥\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$．
（3）设滑雪者平抛运动的水平距离和下落的高度分别为x、y，落到斜坡上的水平和竖直分速度分别为v_x、v_y，
则v_y=gt，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
x=$\frac{y}{tanθ}$=v_xt，
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$，
解得E_k=$\frac{1}{2}m{g}^{2}{t}^{2}（1+\frac{1}{4ta{n}^{2}θ}）$，（$t＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$）
答：（1）滑雪者在空中运动的时间$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）滑雪者在B点跃出时的速度v_o应满足${v}_{0}≥\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$；
（3）滑雪者和滑雪板落到斜坡时的总动能E_k随空中运动时间t的变化关系为E_k=$\frac{1}{2}m{g}^{2}{t}^{2}（1+\frac{1}{4ta{n}^{2}θ}）$，（$t＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$）．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度中等．