Question

1．如图，粗糙、绝缘的直轨道固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E=2×10⁶N/C，方向水平向右的匀强电场．可视为质点的带负电的小物体P电荷量q=2×10^-6C，质量m=0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ=0.4．P由静止开始向右运动，经过0.55s到达A点，到达B点时速度是5m/s．P在整个运动过程中始终受到水平向右的外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表格所示，忽略空气阻力．

v（m•s-1）	0≤v≤2	2＜v＜5	v≥5
F/N	2	6	4

（1）求小物体P从开始运动至A点的速率；
（2）求小物体P从A运动至B的过程，电场力做的功；
（3）小物体P到达B点后，飞向另一侧呈抛物线形状的坡面．如图，以坡底的O点为原点建立坐标系xoy．已知BO高为h，坡面的抛物线方程为y=$\frac{1}{2h}$x²，式中h为常数，且h＞7，重力加速度为g．若当小物体P刚到达B点时，通过对其施加一个水平向右的瞬时力，改变其在B点的速度．则欲使P落到坡面时的动能恰好最小，求其在B点时的速度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律计算加速度的大小，根据运动学的公式计算速度的大小；
（2）牛顿第二定律和运动学的公式计算位移的大小，根据电场力做功的公式计算做功的大小；
（3）物体P离开桌面做平抛运动，最后落到斜面上，根据平抛运动的规律和机械能守恒计算动能最小的时候B的速度的大小．

解答 解：（1）物体P在水平桌面上运动时，竖直方向上只受重力mg和支持力N作用，因此其滑动摩擦力大小为：
F_f=μmg=1N
根据表格数据可知，物体P在速率0≤v≤2m/s时，所受水平外力F₁=2N＞F_f．因此，在进入电场区域之前，物体P做匀加速直线运动，设加速度为a₁，不妨设经时间t₁速度为v₁=2m/s时，物体P还未进入电场区域．
根据匀变速直线运动规律有：v₁=a₁t₁…①
根据牛顿第二定律有：F₁-F_f=ma₁…②
由（1）（2）式联立解得：${t}_{1}=\frac{mv}{{F}_{1}-{F}_{f}}$=0.5s＜0.55s，
所以假设成立，即小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间为t₂=0.5s．
当物体P在速率2＜v＜5m/s时，所受水平外力F₁=6N，
设先以加速度a₁再加速t₃=0.05s至A点，速度为v_A，
根据牛顿第二定律有：F₂-F_f=ma₂…③
根据匀变速直线运动规律有：v_A=v₁+a₂t…④
由（3）（4）式联立解得：v_A=3m/s
（2）物体P从A点运动至B点的过程中，由题意可知，所受水平外力仍然为F₂=6N不变，
设位移为s，加速度为a₃，
根据牛顿第二定律有：F₃-qE-F_f=ma₃…⑤
根据匀变速直线运动规律有：${V}_{B}^{2}-{V}_{A}^{2}=2{a}_{3}s$…⑥
由（5）（6）式联立解得：s=2m
所以电场力做的功为：W=-qEs=-8J
（3）根据表格数据可知，当物体P到达B点时，水平外力为F₃=qE=4N，因此，物体P离开桌面做平抛运动．
设物体P在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y．
由运动学公式和已知条件得，x=v_Bt…⑦
h-y=$\frac{1}{2}$gt²…⑧
根据题意有  y=$\frac{1}{2h}$x²…（9）
由机械能守恒，落到坡面时的动能为 $\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}+mg（h-y）$…（10）
联立（7）（8）（9）（10）式得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{v}_{B}^{2}+\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}）$
上式可以改写为：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{v}_{B}^{2}+gh+\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}-gh）$
利用基本不等式可得当：${v}_{B}^{2}+gh=\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}$时，动能最小．
此时，v_B=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gh}$
答：（1）小物体P从开始运动至A点的速率为3m/s；
（2）小物体P从A运动至B的过程，电场力做的功为-8J；
（3）在B点时的速度为$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gh}$．

点评 本题是电场和平抛运动的综合题目，第三问中的动能最小值要根据平抛运动和机械能守恒，结合运动规律和抛物线方程来计算最小的情况，利用的数学知识比较多，难度较大．