Question

16．据媒体报道：2010年1月12日，美国宇航局用最新天文望远镜--广域红外探测器“WISE”，发现一颗围绕太阳运行的小行星，代号为“2010AB78”，“WISE”观测的数据显示，该小行星与太阳的距离约等于地球与太阳的距离，但由于其轨道倾斜，所以距离地球很远，不会对地球构成威胁，已知火星围绕太阳公转的周期约为2年，假定该小行星和火星均以太阳为中心做匀速圆周运动，则火星和该小行星绕太阳运行的线速度的比值约为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\root{3}{4}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\root{3}{2}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，根据地球与小行星轨道半径相等得出小行星的周期，根据小行星周期和火星周期之比得到它们的轨道半径之比，从而进一步得出小行星和火星绕太阳运行的线速度之比．

解答 解：万有引力等于向心力
G$\frac{M{m}_{地}}{{r}_{地}^{2}}$=m_地$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$ r_地
G $\frac{M{m}_{火}}{{r}_{火}^{2}}$=m_火$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$ r_火
G$\frac{M{m}_{小}}{{r}_{小}^{2}}$=m_小$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{小}^{2}}$ r_小
根据题意
T_火：T_地=2：1
由以上三式解得：
r_火：r_小=$\root{3}{4}$：1
T_小=1年
由v=$\frac{2πr}{T}$，
得：v_火：v_小=$\root{3}{4}$：2=$\frac{\root{3}{4}}{2}$
故选：B．

点评 本题关键根据万有引力等于向心力列式求解，卫星的周期、线速度都与轨道半径有关，通过周期比得出轨道半径比，再通过轨道半径比得出线速度之比；也可直接根据开普勒第三定律求解．