Question

12．如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l=4m，现从静止释放圆环．不计定滑轮质量与摩擦，空气的阻力不计，取g=10m/s²，求：
（1）若圆环恰能下降h=3m，两个物体的质量应满足什么关系？
（2）若圆环下降h=3m时的速度v=5m/s，则两个物体的质量有何关系？
（3）不管两个物体的质量为多大，圆环下降h=3m时的速度不可能超过多大？（结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）圆环下降过程中，圆环与A组成的系统机械能守恒，由此可得质量关系式，进而由几何关系分析AB的位移关系，可得两物体的质量关系．
（2）由圆环与A组成的系统机械能守恒，结合可得此时AB速度关系，可得质量关系．
（3）当m＞＞M时可认为B下落过程机械能守恒，此时B的速度为其下降速度的极限值，由机械能守恒可得最终速度．

解答 解：（1）若圆环恰好能下降h=3m，由机械能守恒定律得：
  mgh=Mgh_A，
由几何关系可得：
 h²+l²=$（l+{h}_{A}）^{2}$
解得两个物体的质量应满足关系  M=3m
（2）若圆环下降h=3m时的速度v=5m/s，由机械能守恒定律得：
  mgh=Mgh_A+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$
如图所示，A、B的速度关系为：v_A=vcosθ=v$\frac{h}{\sqrt{{h}^{2}+{l}^{2}}}$

解得两个物体的质量关系为  $\frac{M}{m}$=$\frac{35}{29}$
（3）B的质量比A的大得越多，圆环下降h=3m时的速度越大，当m＞＞M时可认为B下落过程机械能守恒，有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$  
解得圆环的最大速度  v_m=$\sqrt{60}$m/s=7.75m/s
即圆环下降h=3m时的速度不可能超过7.75m/s．
答：
（1）若圆环恰能下降h=3m，两个物体的质量应满足的关系是M=3m．
（2）若圆环下降h=3m时的速度v=5m/s，则两个物体的质量的关系是 $\frac{M}{m}$=$\frac{35}{29}$．
（3）不管两个物体的质量为多大，圆环下降h=3m时的速度不可能超过7.75m/s．

点评 该题的关键是用好系统机械能守恒这个知识点；难点是对于B的速度极限值的判断，其条件是m＞＞M，即A的质量可以忽略，认为B的机械能守恒．