题目内容

6．宇航员在地球上用一根长0.5m细绳拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出小球在最高点时的速度大小v=3m/s及绳上的拉力F=4N．若宇航员将此小球和细绳带到某星球上，在该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出在最低点时绳上拉力F1=9N，速度大小v1=2$\sqrt{2}$m/s取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计．求：
（1）该小球的质量m；
（2）该星球表面附近的重力加速度g′；
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1：4，求该星球与地球的质量之比M星：M地．

分析 （1）小球在最高点A时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列出等式求解球的质量m
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，在最低点根据合力提供向心力列式，求解星球表面附近的重力加速度．
（3）根据重力近似等于万有引力，分别计算出地球的质量和该星球的质量，再求比值．

解答 解：（1）小球在最高点时，根据合力提供向心力得
   mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
所以$m=\frac{F}{\frac{{v}^{2}}{L}-g}$=$\frac{4}{\frac{{3}^{2}}{0.5}-10}kg$=0.5kg
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，在最低点根据合力提供向心力，${F}_{1}-mg′=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$
所以$g′=\frac{{F}_{1}-m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}}{m}$=$\frac{9-0.5×\frac{8}{0.5}}{0.5}m/{s}^{2}$=2m/s2
（3）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}$，得地球的质量${M}_{地}=\frac{g{{R}_{地}}^{2}}{G}$
同理该星球的质量${M}_{星}=\frac{g′{{R}_{星}}^{2}}{G}$
所以$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}=\frac{g′}{g}•（\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}）^{2}$=$\frac{2}{10}×（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{80}$
答：（1）该小球的质量是0.5kg；
（2）该星球表面附近的重力加速度为2m/s2；
（3）该星球与地球的质量之为1：80．

点评 解决本题的关键运用牛顿第二定律、机械能守恒定律和掌握万有引力等于重力解答．该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，根据牛顿第二定律列出等式求解星球表面附近的重力加速度．

练习册系列答案
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