Question

2．如图1所示，两根间距为l₁的平行导轨PQ和MN处于同一水平面内，左端连接一阻值为R的电阻，导轨平面处于竖直向上的匀强磁场中．一质量为m、横截面为正方形的导体棒CD垂直于导轨放置，棒到导轨左端PM的距离为l₂，导体棒与导轨接触良好，不计导轨和导体棒的电阻．
（1）若CD棒固定，已知磁感应强度B的变化率$\frac{△B}{△t}$随时间t的变化关系式为$\frac{△B}{△t}$=ksinωt，求回路中感应电流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒与导轨间最大静摩擦力为f_m，磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=kt．求从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q；
（3）若CD棒不固定，不计CD棒与导轨间的摩擦；磁场不随时间变化，磁感应强度为B．现对CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动．请在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象．

Answer 1

分析 （1）已知磁感应强度B的变化率$\frac{△B}{△t}=ksinωt$，由法拉第电磁感应定律求得感应电动势瞬时表达式，由欧姆定律求得感应电流瞬时表达式，得到感应电流的最大值I_m．由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=$\frac{\sqrt{2}}{2}$I_m．
（2）当磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=kt，回路中产生恒定的感应电流，CD棒所受的安培力均匀增大，当安培力等于最大静摩擦力时，棒刚要运动．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到安培力与时间的关系式，由安培力等于最大静摩擦力求出时间，由焦耳定律求Q．
（3）先推导出安培力与时间的关系式，根据牛顿第二定律外力F与时间的关系式，作出图象，图象的“面积”等于外力的冲量，即可由几何知识求得冲量I．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势$e=\frac{△Φ}{△t}=k{l_1}{l_2}sinωt$
所以，电动势的最大值 E_m=kl₁l₂
由闭合电路欧姆定律 ${I_{m}}=\frac{{{E_{m}}}}{R}=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{R}$
由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=$\frac{\sqrt{2}}{2}$I_m
解得，$I=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{{\sqrt{2}R}}$
（2）根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 $E={l_1}{l_2}\frac{△B}{△t}=k{l_1}{l_2}$
根据闭合电路欧姆定律 $I=\frac{E}{R}=\frac{{k{l_1}{l_2}}}{R}$
CD杆受到的安培力 ${F_{A}}=BI{l_1}=\frac{{{k^2}l_1^2{l_2}}}{R}t$
当CD杆将要开始运动时，满足：F_A=f_m
由上式解得：CD棒运动之前，产生电流的时间$t=\frac{{{f_m}R}}{{{k^2}l_1^2{l_2}}}$
所以，在时间t内回路中产生的焦耳热Q=I²Rt=f_ml₂
（3）CD棒切割磁感线产生的感应电动势E=Bl₁v
时刻t的感应电流$I=\frac{E}{R}=\frac{{B{l_1}at}}{R}$
CD棒在加速过程中，根据由牛顿第二定律 F-BIl₁=ma
解得：$F=\frac{{{B^2}l_1^2a}}{R}t+ma$
根据上式，可得到外力F随时间变化的图象如图所示，由图象面积可知：经过时间t₀，外力F的冲量I
$I=\frac{1}{2}[{（\frac{{{B^2}l_1^2a}}{R}{t_0}+ma）+ma}]{t_0}$
解得：$I=\frac{{{B^2}l_1^2at_0^2}}{2R}+ma{t_0}$

答：
（1）回路中感应电流的有效值I为$\frac{k{l}_{1}{l}_{2}}{\sqrt{2}R}$；
（2）从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q为f_ml₂；
（3）在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象如图所示，经过时间t₀，外力F的冲量大小I为$\frac{{B}^{2}{l}_{1}^{2}a{t}_{0}^{2}}{2R}$+mat₀

点评 本题是电磁感应与交变电流、力学、电路等多个知识的综合，根据法拉第电磁感应定律求感应电动势，由欧姆定律求感应电流是基本的思路．对于涉及棒的运动问题，安培力的推导是关键．