Question

4．如图所示，用长L=0.5m的细绳悬挂着质量为M=0.99kg的小球．今有一质量为m=0.01kg的子弹以水平速度v₀击中小球并留在其中，为保证小球能在竖直平面内运动而悬线不会松弛，v₀必须满足什么条件？

Answer 1

分析 要使木球在竖直平面内运动过程中悬线始终不发生松弛，木球运动有两种情况：一是木球运动速度较大时将做完整圆周运动，二是木球速度较小时做不完整圆周运动（即摆动）．根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速度，再根据机械能守恒定律求出子弹与木球在最低点的最小速度，最后通过动量守恒定律求出子弹做完整圆周运动的最小初速度．由机械能守恒定律求得子弹做不完整圆周运动最大速度．

解答 解：子弹进入木块的过程中水平方向二者不受外力，满足动量守恒定律，选择向右为正方向，子弹击中木球时，由动量守恒定律得：
mV₀=（m+M）v₁
下面分两种情况：
（1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：
  （m+M）g≤（m+M）$\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$
小球从最低点到最高点的过程中，由机械能守定律得：
 $2（m+M）gL+\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}$
由以上各式解得：${v}_{0}≥\frac{m+M}{m}\sqrt{5gL}$
代入数据得：v₀≥500m/s．
（2）若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时，（与O点在同一水平线上）应满足：
$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{1}^{2}≤（M+m）gL$
解得：${v}_{0}≤\frac{M+m}{m}\sqrt{2gL}$
代入数据得：v₀≤100$\sqrt{10}$m/s．
所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松弛的运动，V₀应满足的条件是：v₀≥500m/s或 v₀≤200m/s．
答：子弹初速度V₀应满足的条件是：v₀≥500m/s或 v₀≤100$\sqrt{10}$m/s．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清整个运动过程，分两种情况进行讨论求解的解答的关键，不能由疏漏．