Question

16．如图所示，长为$\sqrt{3}$L的轻绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为L的A、B两点，一个质量为m的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速度转动时，圆环以A为圆心在水平面上作匀速圆周运动，则
（1）求此时轻绳上的张力T大小；
（2）竖直棒转动的角速ω．
（3）A点距地面高为$\frac{3L}{2}$，若某时刻轻绳从环处断掉则求环落在水平地面上的区域范围．

Answer 1

分析 （1、2）根据几何关系求出环做圆周运动的半径，抓住小球竖直上合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的张力大小和角速度的大小．
（3）轻绳断掉后，环做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，结合线速度的大小求出平抛运动的水平位移，根据几何关系求出环落在水平地面上的区域范围．

解答 解：（1、2）设转动的半径为r，设绳子与水平方向的夹角为α，根据几何关系有：${r}^{2}+{L}^{2}=（\sqrt{3}L-r）^{2}$，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{3}L$．
cosα=$\frac{r}{\sqrt{3}L-r}=\frac{1}{2}$，即α=60°，
对小球进行受力分析，
在竖直方向上有：Tsinα=mg
在水平方向上有：T+Tcosα=mω²r
联立解得T=$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$，ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
（3）轻绳断掉时，小圆环的线速度v=$rω=\frac{\sqrt{3}}{3}L•\sqrt{\frac{3g}{L}}$=$\sqrt{gL}$，
根据H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×\frac{3L}{2}}{g}}=\sqrt{\frac{3L}{g}}$，
则平抛运动的水平位移x=$vt=\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{3L}{g}}=\sqrt{3}L$，
根据几何关系知，R=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{3{L}^{2}+\frac{1}{3}{L}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{3}L$．
即环落在以杆为圆心，半径为$\frac{\sqrt{30}}{3}L$的圆周上．
答：（1）此时轻绳的张力T大小为$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$．
（2）竖直棒转动的角速度为$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
（3）环落在水平地面上的区域范围为以杆为圆心，半径为$\frac{\sqrt{30}}{3}L$的圆周上．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．